Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8434 / 25038
↖ ↑ ↗
← N 39.036253°
W133.670654°		 ← 474.43 m → N 39.036253°
W133.665161°		 →
↑
474.45 m
↓
↑
474.45 m
↓
N 39.031986°
W133.670654°		 ← 474.46 m →
225 098 m²		 N 39.031986°
W133.665161°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128700256347656 y=0.382057189941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128700256347656 × 216)
    floor (0.128700256347656 × 65536)
    floor (8434.5)     		tx = 8434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.382057189941406 × 216)
    floor (0.382057189941406 × 65536)
    floor (25038.5)     		ty = 25038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8434 / 25038 ti = "16/8434/25038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8434/25038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8434 ÷ 216
    8434 ÷ 65536     		x = 0.128692626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25038 ÷ 216
    25038 ÷ 65536     		y = 0.382049560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128692626953125 × 2 - 1) × π
    -0.74261474609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.33299303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.382049560546875 × 2 - 1) × π
    0.23590087890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.741104468126068
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33299303} λ = -2.33299303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.741104468126068))-π/2
    2×atan(2.09825168729849)-π/2
    2×1.12605373428274-π/2
    2.25210746856548-1.57079632675     		φ = 0.68131114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33299303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.670654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68131114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.036253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8434 KachelY 25038 -2.33299303 0.68131114 -133.670654 39.036253
    Oben rechts KachelX + 1 8435 KachelY 25038 -2.33289716 0.68131114 -133.665161 39.036253
    Unten links KachelX 8434 KachelY + 1 25039 -2.33299303 0.68123667 -133.670654 39.031986
    Unten rechts KachelX + 1 8435 KachelY + 1 25039 -2.33289716 0.68123667 -133.665161 39.031986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68131114-0.68123667) × R
    7.44700000000487e-05 × 6371000     		dl = 474.44837000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68131114-0.68123667) × R
    7.44700000000487e-05 × 6371000     		dr = 474.44837000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33299303--2.33289716) × cos(0.68131114) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.776747614943721 × 6371000     		do = 474.427943584284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33299303--2.33289716) × cos(0.68123667) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.776794514888733 × 6371000     		du = 474.456589497111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68131114)-sin(0.68123667))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776747614943721-0.776794514888733)×R²
    abs(-2.33289716--2.33299303)×4.68999450118357e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68999450118357e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68999450118357e-05×40589641000000     		ar = 225098.360123407m²