Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 8433 / 24817
N 39.972911°
W133.676147°
← 468.08 m → N 39.972911°
W133.670654°

468.08 m

468.08 m
N 39.968701°
W133.676147°
← 468.10 m →
219 103 m²
N 39.968701°
W133.670654°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128684997558594 y=0.378684997558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128684997558594 × 216)
    floor (0.128684997558594 × 65536)
    floor (8433.5)
    tx = 8433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378684997558594 × 216)
    floor (0.378684997558594 × 65536)
    floor (24817.5)
    ty = 24817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8433 / 24817 ti = "16/8433/24817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8433/24817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8433 ÷ 216
    8433 ÷ 65536
    x = 0.128677368164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24817 ÷ 216
    24817 ÷ 65536
    y = 0.378677368164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.128677368164062 × 2 - 1) × π
    -0.742645263671875 × 3.1415926535
    Λ = -2.33308890
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.378677368164062 × 2 - 1) × π
    0.242645263671875 × 3.1415926535
    Φ = 0.762292577758133
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33308890} λ = -2.33308890}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.762292577758133))-π/2
    2×atan(2.14318400859402)-π/2
    2×1.13422761375195-π/2
    2.2684552275039-1.57079632675
    φ = 0.69765890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33308890} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.676147°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69765890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.972911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8433 KachelY 24817 -2.33308890 0.69765890 -133.676147 39.972911
    Oben rechts KachelX + 1 8434 KachelY 24817 -2.33299303 0.69765890 -133.670654 39.972911
    Unten links KachelX 8433 KachelY + 1 24818 -2.33308890 0.69758543 -133.676147 39.968701
    Unten rechts KachelX + 1 8434 KachelY + 1 24818 -2.33299303 0.69758543 -133.670654 39.968701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(0.69765890-0.69758543) × R
    7.34700000000199e-05 × 6371000
    dl = 468.077370000127m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(0.69765890-0.69758543) × R
    7.34700000000199e-05 × 6371000
    dr = 468.077370000127m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33308890--2.33299303) × cos(0.69765890) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.766348267981274 × 6371000
    do = 468.076149643634m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33308890--2.33299303) × cos(0.69758543) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.766395464903488 × 6371000
    du = 468.104976946504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(0.69765890)-sin(0.69758543))×
    abs(λ12)×abs(0.766348267981274-0.766395464903488)×
    abs(-2.33299303--2.33308890)×4.7196922214221e-05×
    9.58699999999979e-05×4.7196922214221e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7196922214221e-05×40589641000000
    ar = 219102.599887463m²