Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8432 / 24816
↖ ↑ ↗
← N 39.977120°
W133.681641°		 ← 468.10 m → N 39.977120°
W133.676147°		 →
↑
468.08 m
↓
↑
468.08 m
↓
N 39.972911°
W133.681641°		 ← 468.12 m →
219 112 m²		 N 39.972911°
W133.676147°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128669738769531 y=0.378669738769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128669738769531 × 216)
    floor (0.128669738769531 × 65536)
    floor (8432.5)     		tx = 8432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378669738769531 × 216)
    floor (0.378669738769531 × 65536)
    floor (24816.5)     		ty = 24816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8432 / 24816 ti = "16/8432/24816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8432/24816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8432 ÷ 216
    8432 ÷ 65536     		x = 0.128662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24816 ÷ 216
    24816 ÷ 65536     		y = 0.378662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128662109375 × 2 - 1) × π
    -0.74267578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.33318478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.378662109375 × 2 - 1) × π
    0.24267578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.762388451557373
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33318478} λ = -2.33318478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.762388451557373))-π/2
    2×atan(2.14338949363755)-π/2
    2×1.13426434898058-π/2
    2.26852869796117-1.57079632675     		φ = 0.69773237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33318478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.681641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69773237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.977120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8432 KachelY 24816 -2.33318478 0.69773237 -133.681641 39.977120
    Oben rechts KachelX + 1 8433 KachelY 24816 -2.33308890 0.69773237 -133.676147 39.977120
    Unten links KachelX 8432 KachelY + 1 24817 -2.33318478 0.69765890 -133.681641 39.972911
    Unten rechts KachelX + 1 8433 KachelY + 1 24817 -2.33308890 0.69765890 -133.676147 39.972911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69773237-0.69765890) × R
    7.34700000000199e-05 × 6371000     		dl = 468.077370000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69773237-0.69765890) × R
    7.34700000000199e-05 × 6371000     		dr = 468.077370000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33318478--2.33308890) × cos(0.69773237) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.766301066922434 × 6371000     		do = 468.096140854841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33318478--2.33308890) × cos(0.69765890) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.766348267981274 × 6371000     		du = 468.124973691491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69773237)-sin(0.69765890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766301066922434-0.766348267981274)×R²
    abs(-2.33308890--2.33318478)×4.72010588401517e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.72010588401517e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.72010588401517e-05×40589641000000     		ar = 219111.958616343m²