Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8431 / 25029
↖ ↑ ↗
← N 39.074644°
W133.687134°		 ← 474.17 m → N 39.074644°
W133.681641°		 →
↑
474.19 m
↓
↑
474.19 m
↓
N 39.070379°
W133.687134°		 ← 474.20 m →
224 855 m²		 N 39.070379°
W133.681641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128654479980469 y=0.381919860839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128654479980469 × 216)
    floor (0.128654479980469 × 65536)
    floor (8431.5)     		tx = 8431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381919860839844 × 216)
    floor (0.381919860839844 × 65536)
    floor (25029.5)     		ty = 25029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8431 / 25029 ti = "16/8431/25029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8431/25029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8431 ÷ 216
    8431 ÷ 65536     		x = 0.128646850585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25029 ÷ 216
    25029 ÷ 65536     		y = 0.381912231445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128646850585938 × 2 - 1) × π
    -0.742706298828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.33328065
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381912231445312 × 2 - 1) × π
    0.236175537109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.741967332319229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33328065} λ = -2.33328065}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.741967332319229))-π/2
    2×atan(2.10006297488292)-π/2
    2×1.1263887570682-π/2
    2.25277751413641-1.57079632675     		φ = 0.68198119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33328065} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.687134°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68198119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.074644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8431 KachelY 25029 -2.33328065 0.68198119 -133.687134 39.074644
    Oben rechts KachelX + 1 8432 KachelY 25029 -2.33318478 0.68198119 -133.681641 39.074644
    Unten links KachelX 8431 KachelY + 1 25030 -2.33328065 0.68190676 -133.687134 39.070379
    Unten rechts KachelX + 1 8432 KachelY + 1 25030 -2.33318478 0.68190676 -133.681641 39.070379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68198119-0.68190676) × R
    7.44300000000697e-05 × 6371000     		dl = 474.193530000444m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68198119-0.68190676) × R
    7.44300000000697e-05 × 6371000     		dr = 474.193530000444m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33328065--2.33318478) × cos(0.68198119) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.776325435084418 × 6371000     		do = 474.170081289481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33328065--2.33318478) × cos(0.68190676) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.776372348567726 × 6371000     		du = 474.198735471333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68198119)-sin(0.68190676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776325435084418-0.776372348567726)×R²
    abs(-2.33318478--2.33328065)×4.69134833073204e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69134833073204e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69134833073204e-05×40589641000000     		ar = 224855.178585209m²