Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 843 / 212
↖ ↑ ↗
← N 80.532071°
W 31.816407°		 ← 3 215.24 m → N 80.532071°
W 31.640625°		 →
↑
3 220.09 m
↓
↑
3 220.09 m
↓
N 80.503112°
W 31.816407°		 ← 3 224.98 m →
10 369 051 m²		 N 80.503112°
W 31.640625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411865234375 y=0.103759765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411865234375 × 211)
    floor (0.411865234375 × 2048)
    floor (843.5)     		tx = 843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103759765625 × 211)
    floor (0.103759765625 × 2048)
    floor (212.5)     		ty = 212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 843 / 212 ti = "11/843/212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/843/212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 843 ÷ 211
    843 ÷ 2048     		x = 0.41162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 212 ÷ 211
    212 ÷ 2048     		y = 0.103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41162109375 × 2 - 1) × π
    -0.1767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55530105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103515625 × 2 - 1) × π
    0.79296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.49118479945508
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55530105} λ = -0.55530105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49118479945508))-π/2
    2×atan(12.0755747826707)-π/2
    2×1.48817306065902-π/2
    2.97634612131804-1.57079632675     		φ = 1.40554979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55530105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.816407°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40554979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.532071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 843 KachelY 212 -0.55530105 1.40554979 -31.816407 80.532071
    Oben rechts KachelX + 1 844 KachelY 212 -0.55223308 1.40554979 -31.640625 80.532071
    Unten links KachelX 843 KachelY + 1 213 -0.55530105 1.40504436 -31.816407 80.503112
    Unten rechts KachelX + 1 844 KachelY + 1 213 -0.55223308 1.40504436 -31.640625 80.503112
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40554979-1.40504436) × R
    0.000505430000000029 × 6371000     		dl = 3220.09453000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40554979-1.40504436) × R
    0.000505430000000029 × 6371000     		dr = 3220.09453000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55530105--0.55223308) × cos(1.40554979) × R
    0.00306796999999992 × 0.164495514416111 × 6371000     		do = 3215.23538972684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55530105--0.55223308) × cos(1.40504436) × R
    0.00306796999999992 × 0.164994038331102 × 6371000     		du = 3224.97955654982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40554979)-sin(1.40504436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164495514416111-0.164994038331102)×R²
    abs(-0.55223308--0.55530105)×0.000498523914990501×R²
    0.00306796999999992×0.000498523914990501×6371000²
    0.00306796999999992×0.000498523914990501×40589641000000     		ar = 10369050.6810022m²