Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 843 / 208
↖ ↑ ↗
← N 80.647035°
W 31.816407°		 ← 3 176.54 m → N 80.647035°
W 31.640625°		 →
↑
3 181.36 m
↓
↑
3 181.36 m
↓
N 80.618424°
W 31.816407°		 ← 3 186.17 m →
10 121 045 m²		 N 80.618424°
W 31.640625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411865234375 y=0.101806640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411865234375 × 211)
    floor (0.411865234375 × 2048)
    floor (843.5)     		tx = 843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101806640625 × 211)
    floor (0.101806640625 × 2048)
    floor (208.5)     		ty = 208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 843 / 208 ti = "11/843/208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/843/208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 843 ÷ 211
    843 ÷ 2048     		x = 0.41162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 208 ÷ 211
    208 ÷ 2048     		y = 0.1015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41162109375 × 2 - 1) × π
    -0.1767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55530105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1015625 × 2 - 1) × π
    0.796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.50345664575781
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55530105} λ = -0.55530105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50345664575781))-π/2
    2×atan(12.2246773913586)-π/2
    2×1.4891763075478-π/2
    2.9783526150956-1.57079632675     		φ = 1.40755629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55530105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.816407°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40755629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.647035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 843 KachelY 208 -0.55530105 1.40755629 -31.816407 80.647035
    Oben rechts KachelX + 1 844 KachelY 208 -0.55223308 1.40755629 -31.640625 80.647035
    Unten links KachelX 843 KachelY + 1 209 -0.55530105 1.40705694 -31.816407 80.618424
    Unten rechts KachelX + 1 844 KachelY + 1 209 -0.55223308 1.40705694 -31.640625 80.618424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40755629-1.40705694) × R
    0.000499350000000121 × 6371000     		dl = 3181.35885000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40755629-1.40705694) × R
    0.000499350000000121 × 6371000     		dr = 3181.35885000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55530105--0.55223308) × cos(1.40755629) × R
    0.00306796999999992 × 0.162516017493157 × 6371000     		do = 3176.54406988673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55530105--0.55223308) × cos(1.40705694) × R
    0.00306796999999992 × 0.163008708804902 × 6371000     		du = 3186.17423243162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40755629)-sin(1.40705694))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162516017493157-0.163008708804902)×R²
    abs(-0.55223308--0.55530105)×0.000492691311744564×R²
    0.00306796999999992×0.000492691311744564×6371000²
    0.00306796999999992×0.000492691311744564×40589641000000     		ar = 10121045.3008874m²