Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 843 / 207
↖ ↑ ↗
← N 80.675559°
W 31.816407°		 ← 3 166.94 m → N 80.675559°
W 31.640625°		 →
↑
3 171.74 m
↓
↑
3 171.74 m
↓
N 80.647035°
W 31.816407°		 ← 3 176.54 m →
10 059 941 m²		 N 80.647035°
W 31.640625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411865234375 y=0.101318359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411865234375 × 211)
    floor (0.411865234375 × 2048)
    floor (843.5)     		tx = 843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101318359375 × 211)
    floor (0.101318359375 × 2048)
    floor (207.5)     		ty = 207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 843 / 207 ti = "11/843/207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/843/207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 843 ÷ 211
    843 ÷ 2048     		x = 0.41162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 207 ÷ 211
    207 ÷ 2048     		y = 0.10107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41162109375 × 2 - 1) × π
    -0.1767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55530105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10107421875 × 2 - 1) × π
    0.7978515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.5065246073335
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55530105} λ = -0.55530105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5065246073335))-π/2
    2×atan(12.2622398224554)-π/2
    2×1.48942522703701-π/2
    2.97885045407401-1.57079632675     		φ = 1.40805413
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55530105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.816407°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40805413 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.675559°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 843 KachelY 207 -0.55530105 1.40805413 -31.816407 80.675559
    Oben rechts KachelX + 1 844 KachelY 207 -0.55223308 1.40805413 -31.640625 80.675559
    Unten links KachelX 843 KachelY + 1 208 -0.55530105 1.40755629 -31.816407 80.647035
    Unten rechts KachelX + 1 844 KachelY + 1 208 -0.55223308 1.40755629 -31.640625 80.647035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40805413-1.40755629) × R
    0.000497839999999972 × 6371000     		dl = 3171.73863999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40805413-1.40755629) × R
    0.000497839999999972 × 6371000     		dr = 3171.73863999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55530105--0.55223308) × cos(1.40805413) × R
    0.00306796999999992 × 0.162024775706063 × 6371000     		do = 3166.9422398041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55530105--0.55223308) × cos(1.40755629) × R
    0.00306796999999992 × 0.162516017493157 × 6371000     		du = 3176.54406988673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40805413)-sin(1.40755629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162024775706063-0.162516017493157)×R²
    abs(-0.55223308--0.55530105)×0.000491241787094227×R²
    0.00306796999999992×0.000491241787094227×6371000²
    0.00306796999999992×0.000491241787094227×40589641000000     		ar = 10059940.5281549m²