Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 843 / 205
↖ ↑ ↗
← N 80.732349°
W 31.816407°		 ← 3 147.82 m → N 80.732349°
W 31.640625°		 →
↑
3 152.63 m
↓
↑
3 152.63 m
↓
N 80.703997°
W 31.816407°		 ← 3 157.37 m →
9 938 955 m²		 N 80.703997°
W 31.640625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411865234375 y=0.100341796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411865234375 × 211)
    floor (0.411865234375 × 2048)
    floor (843.5)     		tx = 843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100341796875 × 211)
    floor (0.100341796875 × 2048)
    floor (205.5)     		ty = 205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 843 / 205 ti = "11/843/205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/843/205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 843 ÷ 211
    843 ÷ 2048     		x = 0.41162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 205 ÷ 211
    205 ÷ 2048     		y = 0.10009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41162109375 × 2 - 1) × π
    -0.1767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55530105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10009765625 × 2 - 1) × π
    0.7998046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.51266053048486
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55530105} λ = -0.55530105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51266053048486))-π/2
    2×atan(12.3377112904447)-π/2
    2×1.48992081089356-π/2
    2.97984162178712-1.57079632675     		φ = 1.40904530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55530105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.816407°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40904530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.732349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 843 KachelY 205 -0.55530105 1.40904530 -31.816407 80.732349
    Oben rechts KachelX + 1 844 KachelY 205 -0.55223308 1.40904530 -31.640625 80.732349
    Unten links KachelX 843 KachelY + 1 206 -0.55530105 1.40855046 -31.816407 80.703997
    Unten rechts KachelX + 1 844 KachelY + 1 206 -0.55223308 1.40855046 -31.640625 80.703997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40904530-1.40855046) × R
    0.000494839999999996 × 6371000     		dl = 3152.62563999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40904530-1.40855046) × R
    0.000494839999999996 × 6371000     		dr = 3152.62563999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55530105--0.55223308) × cos(1.40904530) × R
    0.00306796999999992 × 0.161046622914414 × 6371000     		do = 3147.82322927403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55530105--0.55223308) × cos(1.40855046) × R
    0.00306796999999992 × 0.161534983931327 × 6371000     		du = 3157.36875171649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40904530)-sin(1.40855046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161046622914414-0.161534983931327)×R²
    abs(-0.55223308--0.55530105)×0.000488361016913325×R²
    0.00306796999999992×0.000488361016913325×6371000²
    0.00306796999999992×0.000488361016913325×40589641000000     		ar = 9938955.15500234m²