Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 84293 / 20285
↖ ↑ ↗
← N 76.962193°
E 51.517639°		 ← 68.89 m → N 76.962193°
E 51.520386°		 →
↑
68.87 m
↓
↑
68.87 m
↓
N 76.961573°
E 51.517639°		 ← 68.89 m →
4 744 m²		 N 76.961573°
E 51.520386°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.643108367919922 y=0.154766082763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.643108367919922 × 217)
    floor (0.643108367919922 × 131072)
    floor (84293.5)     		tx = 84293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154766082763672 × 217)
    floor (0.154766082763672 × 131072)
    floor (20285.5)     		ty = 20285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84293 / 20285 ti = "17/84293/20285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84293/20285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84293 ÷ 217
    84293 ÷ 131072     		x = 0.643104553222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20285 ÷ 217
    20285 ÷ 131072     		y = 0.154762268066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.643104553222656 × 2 - 1) × π
    0.286209106445312 × 3.1415926535     		Λ = 0.89915243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154762268066406 × 2 - 1) × π
    0.690475463867188 × 3.1415926535     		Φ = 2.16919264470716
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.89915243} λ = 0.89915243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16919264470716))-π/2
    2×atan(8.75121584741993)-π/2
    2×1.45701999321346-π/2
    2.91403998642693-1.57079632675     		φ = 1.34324366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.89915243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.517639°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34324366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.962193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84293 KachelY 20285 0.89915243 1.34324366 51.517639 76.962193
    Oben rechts KachelX + 1 84294 KachelY 20285 0.89920036 1.34324366 51.520386 76.962193
    Unten links KachelX 84293 KachelY + 1 20286 0.89915243 1.34323285 51.517639 76.961573
    Unten rechts KachelX + 1 84294 KachelY + 1 20286 0.89920036 1.34323285 51.520386 76.961573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34324366-1.34323285) × R
    1.08100000000277e-05 × 6371000     		dl = 68.8705100001768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34324366-1.34323285) × R
    1.08100000000277e-05 × 6371000     		dr = 68.8705100001768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.89915243-0.89920036) × cos(1.34324366) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.225593957086202 × 6371000     		do = 68.8878286916178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.89915243-0.89920036) × cos(1.34323285) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.225604488406523 × 6371000     		du = 68.8910445569696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34324366)-sin(1.34323285))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225593957086202-0.225604488406523)×R²
    abs(0.89920036-0.89915243)×1.05313203209723e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.05313203209723e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.05313203209723e-05×40589641000000     		ar = 4744.45063388141m²