Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8429 / 7635
↖ ↑ ↗
← N 79.731343°
W133.698120°		 ← 108.88 m → N 79.731343°
W133.692627°		 →
↑
108.88 m
↓
↑
108.88 m
↓
N 79.730364°
W133.698120°		 ← 108.89 m →
11 856 m²		 N 79.730364°
W133.692627°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128623962402344 y=0.116508483886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128623962402344 × 216)
    floor (0.128623962402344 × 65536)
    floor (8429.5)     		tx = 8429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116508483886719 × 216)
    floor (0.116508483886719 × 65536)
    floor (7635.5)     		ty = 7635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8429 / 7635 ti = "16/8429/7635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8429/7635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8429 ÷ 216
    8429 ÷ 65536     		x = 0.128616333007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7635 ÷ 216
    7635 ÷ 65536     		y = 0.116500854492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128616333007812 × 2 - 1) × π
    -0.742767333984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.33347240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116500854492188 × 2 - 1) × π
    0.766998291015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.40959619630174
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33347240} λ = -2.33347240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40959619630174))-π/2
    2×atan(11.129466117994)-π/2
    2×1.48118539228553-π/2
    2.96237078457106-1.57079632675     		φ = 1.39157446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33347240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.698120°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39157446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.731343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8429 KachelY 7635 -2.33347240 1.39157446 -133.698120 79.731343
    Oben rechts KachelX + 1 8430 KachelY 7635 -2.33337653 1.39157446 -133.692627 79.731343
    Unten links KachelX 8429 KachelY + 1 7636 -2.33347240 1.39155737 -133.698120 79.730364
    Unten rechts KachelX + 1 8430 KachelY + 1 7636 -2.33337653 1.39155737 -133.692627 79.730364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39157446-1.39155737) × R
    1.70900000000529e-05 × 6371000     		dl = 108.880390000337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39157446-1.39155737) × R
    1.70900000000529e-05 × 6371000     		dr = 108.880390000337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33347240--2.33337653) × cos(1.39157446) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178263957856671 × 6371000     		do = 108.881445290647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33347240--2.33337653) × cos(1.39155737) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178280774095045 × 6371000     		du = 108.891716443384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39157446)-sin(1.39155737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178263957856671-0.178280774095045)×R²
    abs(-2.33337653--2.33347240)×1.68162383741288e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.68162383741288e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.68162383741288e-05×40589641000000     		ar = 11855.6133908811m²