Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 84289 / 20287
↖ ↑ ↗
← N 76.960953°
E 51.506653°		 ← 68.91 m → N 76.960953°
E 51.509400°		 →
↑
68.93 m
↓
↑
68.93 m
↓
N 76.960333°
E 51.506653°		 ← 68.91 m →
4 750 m²		 N 76.960333°
E 51.509400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.643077850341797 y=0.154781341552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.643077850341797 × 217)
    floor (0.643077850341797 × 131072)
    floor (84289.5)     		tx = 84289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154781341552734 × 217)
    floor (0.154781341552734 × 131072)
    floor (20287.5)     		ty = 20287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84289 / 20287 ti = "17/84289/20287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84289/20287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84289 ÷ 217
    84289 ÷ 131072     		x = 0.643074035644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20287 ÷ 217
    20287 ÷ 131072     		y = 0.154777526855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.643074035644531 × 2 - 1) × π
    0.286148071289062 × 3.1415926535     		Λ = 0.89896068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154777526855469 × 2 - 1) × π
    0.690444946289062 × 3.1415926535     		Φ = 2.16909677090792
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.89896068} λ = 0.89896068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16909677090792))-π/2
    2×atan(8.75037687532703)-π/2
    2×1.45700917843352-π/2
    2.91401835686704-1.57079632675     		φ = 1.34322203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.89896068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.506653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34322203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.960953°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84289 KachelY 20287 0.89896068 1.34322203 51.506653 76.960953
    Oben rechts KachelX + 1 84290 KachelY 20287 0.89900862 1.34322203 51.509400 76.960953
    Unten links KachelX 84289 KachelY + 1 20288 0.89896068 1.34321121 51.506653 76.960333
    Unten rechts KachelX + 1 84290 KachelY + 1 20288 0.89900862 1.34321121 51.509400 76.960333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34322203-1.34321121) × R
    1.0819999999967e-05 × 6371000     		dl = 68.9342199997895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34322203-1.34321121) × R
    1.0819999999967e-05 × 6371000     		dr = 68.9342199997895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.89896068-0.89900862) × cos(1.34322203) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.225615029442646 × 6371000     		do = 68.9086373227564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.89896068-0.89900862) × cos(1.34321121) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.225625570452356 × 6371000     		du = 68.9118568184474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34322203)-sin(1.34321121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225615029442646-0.225625570452356)×R²
    abs(0.89900862-0.89896068)×1.05410097097081e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.05410097097081e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.05410097097081e-05×40589641000000     		ar = 4750.27413173286m²