Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84288 / 20288
↖ ↑ ↗
← N 76.960333°
E 51.503906°		 ← 68.91 m → N 76.960333°
E 51.506653°		 →
↑
68.87 m
↓
↑
68.87 m
↓
N 76.959714°
E 51.503906°		 ← 68.92 m →
4 746 m²		 N 76.959714°
E 51.506653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.643070220947266 y=0.154788970947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.643070220947266 × 217)
    floor (0.643070220947266 × 131072)
    floor (84288.5)     		tx = 84288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154788970947266 × 217)
    floor (0.154788970947266 × 131072)
    floor (20288.5)     		ty = 20288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84288 / 20288 ti = "17/84288/20288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84288/20288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84288 ÷ 217
    84288 ÷ 131072     		x = 0.64306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20288 ÷ 217
    20288 ÷ 131072     		y = 0.15478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64306640625 × 2 - 1) × π
    0.2861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.89891274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15478515625 × 2 - 1) × π
    0.6904296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.1690488340083
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.89891274} λ = 0.89891274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1690488340083))-π/2
    2×atan(8.74995741944291)-π/2
    2×1.45700377066474-π/2
    2.91400754132947-1.57079632675     		φ = 1.34321121
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.89891274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.503906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34321121 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.960333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84288 KachelY 20288 0.89891274 1.34321121 51.503906 76.960333
    Oben rechts KachelX + 1 84289 KachelY 20288 0.89896068 1.34321121 51.506653 76.960333
    Unten links KachelX 84288 KachelY + 1 20289 0.89891274 1.34320040 51.503906 76.959714
    Unten rechts KachelX + 1 84289 KachelY + 1 20289 0.89896068 1.34320040 51.506653 76.959714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34321121-1.34320040) × R
    1.08100000000277e-05 × 6371000     		dl = 68.8705100001768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34321121-1.34320040) × R
    1.08100000000277e-05 × 6371000     		dr = 68.8705100001768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.89891274-0.89896068) × cos(1.34321121) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.225625570452356 × 6371000     		do = 68.9118568182878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.89891274-0.89896068) × cos(1.34320040) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.225636101693535 × 6371000     		du = 68.9150733304179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34321121)-sin(1.34320040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225625570452356-0.225636101693535)×R²
    abs(0.89896068-0.89891274)×1.05312411786962e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05312411786962e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05312411786962e-05×40589641000000     		ar = 4746.10548574706m²