Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8425 / 5895
↖ ↑ ↗
← N 44.980342°
E  5.119629°		 ← 1 728.25 m → N 44.980342°
E  5.141602°		 →
↑
1 728.45 m
↓
↑
1 728.45 m
↓
N 44.964798°
E  5.119629°		 ← 1 728.72 m →
2 987 605 m²		 N 44.964798°
E  5.141602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8425 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5895 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.514251708984375 y=0.359832763671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.514251708984375 × 214)
    floor (0.514251708984375 × 16384)
    floor (8425.5)     		tx = 8425
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359832763671875 × 214)
    floor (0.359832763671875 × 16384)
    floor (5895.5)     		ty = 5895
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8425 / 5895 ti = "14/8425/5895"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8425/5895.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8425 ÷ 214
    8425 ÷ 16384     		x = 0.51422119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5895 ÷ 214
    5895 ÷ 16384     		y = 0.35980224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51422119140625 × 2 - 1) × π
    0.0284423828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.08935438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35980224609375 × 2 - 1) × π
    0.2803955078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.880888467418152
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08935438} λ = 0.08935438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.880888467418152))-π/2
    2×atan(2.41304266408786)-π/2
    2×1.17792569999863-π/2
    2.35585139999726-1.57079632675     		φ = 0.78505507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08935438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.119629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78505507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.980342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8425 KachelY 5895 0.08935438 0.78505507 5.119629 44.980342
    Oben rechts KachelX + 1 8426 KachelY 5895 0.08973788 0.78505507 5.141602 44.980342
    Unten links KachelX 8425 KachelY + 1 5896 0.08935438 0.78478377 5.119629 44.964798
    Unten rechts KachelX + 1 8426 KachelY + 1 5896 0.08973788 0.78478377 5.141602 44.964798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78505507-0.78478377) × R
    0.000271299999999974 × 6371000     		dl = 1728.45229999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78505507-0.78478377) × R
    0.000271299999999974 × 6371000     		dr = 1728.45229999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08935438-0.08973788) × cos(0.78505507) × R
    0.000383500000000009 × 0.707349343231846 × 6371000     		do = 1728.25144230753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08935438-0.08973788) × cos(0.78478377) × R
    0.000383500000000009 × 0.707541089437804 × 6371000     		du = 1728.71993169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78505507)-sin(0.78478377))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707349343231846-0.707541089437804)×R²
    abs(0.08973788-0.08935438)×0.000191746205957855×R²
    0.000383500000000009×0.000191746205957855×6371000²
    0.000383500000000009×0.000191746205957855×40589641000000     		ar = 2987605.07953399m²