Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8424 / 24824
↖ ↑ ↗
← N 39.943436°
W133.725586°		 ← 468.33 m → N 39.943436°
W133.720092°		 →
↑
468.33 m
↓
↑
468.33 m
↓
N 39.939225°
W133.725586°		 ← 468.36 m →
219 339 m²		 N 39.939225°
W133.720092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128547668457031 y=0.378791809082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128547668457031 × 216)
    floor (0.128547668457031 × 65536)
    floor (8424.5)     		tx = 8424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378791809082031 × 216)
    floor (0.378791809082031 × 65536)
    floor (24824.5)     		ty = 24824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8424 / 24824 ti = "16/8424/24824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8424/24824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8424 ÷ 216
    8424 ÷ 65536     		x = 0.1285400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24824 ÷ 216
    24824 ÷ 65536     		y = 0.3787841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1285400390625 × 2 - 1) × π
    -0.742919921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.33395177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3787841796875 × 2 - 1) × π
    0.242431640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.761621461163452
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33395177} λ = -2.33395177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.761621461163452))-π/2
    2×atan(2.14174616477478)-π/2
    2×1.13397040380041-π/2
    2.26794080760081-1.57079632675     		φ = 0.69714448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33395177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.725586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69714448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.943436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8424 KachelY 24824 -2.33395177 0.69714448 -133.725586 39.943436
    Oben rechts KachelX + 1 8425 KachelY 24824 -2.33385589 0.69714448 -133.720092 39.943436
    Unten links KachelX 8424 KachelY + 1 24825 -2.33395177 0.69707097 -133.725586 39.939225
    Unten rechts KachelX + 1 8425 KachelY + 1 24825 -2.33385589 0.69707097 -133.720092 39.939225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69714448-0.69707097) × R
    7.35099999999989e-05 × 6371000     		dl = 468.332209999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69714448-0.69707097) × R
    7.35099999999989e-05 × 6371000     		dr = 468.332209999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33395177--2.33385589) × cos(0.69714448) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.766678643017404 × 6371000     		do = 468.326783771266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33395177--2.33385589) × cos(0.69707097) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.766725836647769 × 6371000     		du = 468.355612070221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69714448)-sin(0.69707097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766678643017404-0.766725836647769)×R²
    abs(-2.33385589--2.33395177)×4.71936303649834e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.71936303649834e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.71936303649834e-05×40589641000000     		ar = 219339.268354904m²