Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8422 / 5880
N 45.213004°
E  5.053711°
← 1 721.18 m → N 45.213004°
E  5.075684°

1 721.44 m

1 721.44 m
N 45.197522°
E  5.053711°
← 1 721.65 m →
2 963 317 m²
N 45.197522°
E  5.075684°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.514068603515625 y=0.358917236328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.514068603515625 × 214)
    floor (0.514068603515625 × 16384)
    floor (8422.5)
    tx = 8422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.358917236328125 × 214)
    floor (0.358917236328125 × 16384)
    floor (5880.5)
    ty = 5880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8422 / 5880 ti = "14/8422/5880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8422/5880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8422 ÷ 214
    8422 ÷ 16384
    x = 0.5140380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5880 ÷ 214
    5880 ÷ 16384
    y = 0.35888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.5140380859375 × 2 - 1) × π
    0.028076171875 × 3.1415926535
    Λ = 0.08820390
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.35888671875 × 2 - 1) × π
    0.2822265625 × 3.1415926535
    Φ = 0.886640895372559
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08820390} λ = 0.08820390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.886640895372559))-π/2
    2×atan(2.42696351913456)-π/2
    2×1.17995605177252-π/2
    2.35991210354504-1.57079632675
    φ = 0.78911578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08820390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.053711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78911578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.213004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8422 KachelY 5880 0.08820390 0.78911578 5.053711 45.213004
    Oben rechts KachelX + 1 8423 KachelY 5880 0.08858739 0.78911578 5.075684 45.213004
    Unten links KachelX 8422 KachelY + 1 5881 0.08820390 0.78884558 5.053711 45.197522
    Unten rechts KachelX + 1 8423 KachelY + 1 5881 0.08858739 0.78884558 5.075684 45.197522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(0.78911578-0.78884558) × R
    0.000270199999999998 × 6371000
    dl = 1721.44419999999m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(0.78911578-0.78884558) × R
    0.000270199999999998 × 6371000
    dr = 1721.44419999999m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.08820390-0.08858739) × cos(0.78911578) × R
    0.00038349 × 0.70447314899197 × 6371000
    do = 1721.17921677506m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.08820390-0.08858739) × cos(0.78884558) × R
    0.00038349 × 0.704664892492653 × 6371000
    du = 1721.64768733181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(0.78911578)-sin(0.78884558))×
    abs(λ12)×abs(0.70447314899197-0.704664892492653)×
    abs(0.08858739-0.08820390)×0.000191743500682073×
    0.00038349×0.000191743500682073×6371000²
    0.00038349×0.000191743500682073×40589641000000
    ar = 2963317.22086817m²