Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8422 / 25387
↖ ↑ ↗
← S 69.820681°
W 87.473145°		 ← 421.42 m → S 69.820681°
W 87.462158°		 →
↑
421.38 m
↓
↑
421.38 m
↓
S 69.824471°
W 87.473145°		 ← 421.34 m →
177 559 m²		 S 69.824471°
W 87.462158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.257034301757812 y=0.774765014648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.257034301757812 × 215)
    floor (0.257034301757812 × 32768)
    floor (8422.5)     		tx = 8422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774765014648438 × 215)
    floor (0.774765014648438 × 32768)
    floor (25387.5)     		ty = 25387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8422 / 25387 ti = "15/8422/25387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8422/25387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8422 ÷ 215
    8422 ÷ 32768     		x = 0.25701904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25387 ÷ 215
    25387 ÷ 32768     		y = 0.774749755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.25701904296875 × 2 - 1) × π
    -0.4859619140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.52669438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774749755859375 × 2 - 1) × π
    -0.54949951171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72630362911746
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.52669438} λ = -1.52669438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72630362911746))-π/2
    2×atan(0.177940931526889)-π/2
    2×0.176097776266387-π/2
    0.352195552532774-1.57079632675     		φ = -1.21860077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.52669438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.473145°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21860077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.820681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8422 KachelY 25387 -1.52669438 -1.21860077 -87.473145 -69.820681
    Oben rechts KachelX + 1 8423 KachelY 25387 -1.52650263 -1.21860077 -87.462158 -69.820681
    Unten links KachelX 8422 KachelY + 1 25388 -1.52669438 -1.21866691 -87.473145 -69.824471
    Unten rechts KachelX + 1 8423 KachelY + 1 25388 -1.52650263 -1.21866691 -87.462158 -69.824471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21860077--1.21866691) × R
    6.61399999999368e-05 × 6371000     		dl = 421.377939999597m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21860077--1.21866691) × R
    6.61399999999368e-05 × 6371000     		dr = 421.377939999597m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.52669438--1.52650263) × cos(-1.21860077) × R
    0.000191749999999935 × 0.344959425477188 × 6371000     		do = 421.41597382024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.52669438--1.52650263) × cos(-1.21866691) × R
    0.000191749999999935 × 0.344897344554807 × 6371000     		du = 421.340133328783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21860077)-sin(-1.21866691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344959425477188-0.344897344554807)×R²
    abs(-1.52650263--1.52669438)×6.20809223811913e-05×R²
    0.000191749999999935×6.20809223811913e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.20809223811913e-05×40589641000000     		ar = 177559.416241261m²