Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84202 / 19967
↖ ↑ ↗
← N 77.157773°
E 51.267700°		 ← 67.89 m → N 77.157773°
E 51.270447°		 →
↑
67.85 m
↓
↑
67.85 m
↓
N 77.157163°
E 51.267700°		 ← 67.89 m →
4 606 m²		 N 77.157163°
E 51.270447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.642414093017578 y=0.152339935302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.642414093017578 × 217)
    floor (0.642414093017578 × 131072)
    floor (84202.5)     		tx = 84202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152339935302734 × 217)
    floor (0.152339935302734 × 131072)
    floor (19967.5)     		ty = 19967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84202 / 19967 ti = "17/84202/19967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84202/19967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84202 ÷ 217
    84202 ÷ 131072     		x = 0.642410278320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19967 ÷ 217
    19967 ÷ 131072     		y = 0.152336120605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.642410278320312 × 2 - 1) × π
    0.284820556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.89479017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152336120605469 × 2 - 1) × π
    0.695327758789062 × 3.1415926535     		Φ = 2.18443657878634
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.89479017} λ = 0.89479017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18443657878634))-π/2
    2×atan(8.88564078424735)-π/2
    2×1.45872675467178-π/2
    2.91745350934356-1.57079632675     		φ = 1.34665718
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.89479017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.267700°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34665718 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.157773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84202 KachelY 19967 0.89479017 1.34665718 51.267700 77.157773
    Oben rechts KachelX + 1 84203 KachelY 19967 0.89483811 1.34665718 51.270447 77.157773
    Unten links KachelX 84202 KachelY + 1 19968 0.89479017 1.34664653 51.267700 77.157163
    Unten rechts KachelX + 1 84203 KachelY + 1 19968 0.89483811 1.34664653 51.270447 77.157163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34665718-1.34664653) × R
    1.0650000000112e-05 × 6371000     		dl = 67.8511500007133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34665718-1.34664653) × R
    1.0650000000112e-05 × 6371000     		dr = 67.8511500007133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.89479017-0.89483811) × cos(1.34665718) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.22226712493549 × 6371000     		do = 67.8861011110499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.89479017-0.89483811) × cos(1.34664653) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.222277508521736 × 6371000     		du = 67.8892725255632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34665718)-sin(1.34664653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22226712493549-0.222277508521736)×R²
    abs(0.89483811-0.89479017)×1.03835862466373e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.03835862466373e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.03835862466373e-05×40589641000000     		ar = 4606.25762156843m²