Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8420 / 25009
↖ ↑ ↗
← N 39.159882°
W133.747558°		 ← 473.60 m → N 39.159882°
W133.742065°		 →
↑
473.62 m
↓
↑
473.62 m
↓
N 39.155622°
W133.747558°		 ← 473.63 m →
224 312 m²		 N 39.155622°
W133.742065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128486633300781 y=0.381614685058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128486633300781 × 216)
    floor (0.128486633300781 × 65536)
    floor (8420.5)     		tx = 8420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381614685058594 × 216)
    floor (0.381614685058594 × 65536)
    floor (25009.5)     		ty = 25009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8420 / 25009 ti = "16/8420/25009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8420/25009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8420 ÷ 216
    8420 ÷ 65536     		x = 0.12847900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25009 ÷ 216
    25009 ÷ 65536     		y = 0.381607055664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12847900390625 × 2 - 1) × π
    -0.7430419921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.33433526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381607055664062 × 2 - 1) × π
    0.236785888671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.743884808304031
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33433526} λ = -2.33433526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.743884808304031))-π/2
    2×atan(2.10409365833822)-π/2
    2×1.127132599872-π/2
    2.25426519974401-1.57079632675     		φ = 0.68346887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33433526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.747558°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68346887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.159882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8420 KachelY 25009 -2.33433526 0.68346887 -133.747558 39.159882
    Oben rechts KachelX + 1 8421 KachelY 25009 -2.33423939 0.68346887 -133.742065 39.159882
    Unten links KachelX 8420 KachelY + 1 25010 -2.33433526 0.68339453 -133.747558 39.155622
    Unten rechts KachelX + 1 8421 KachelY + 1 25010 -2.33423939 0.68339453 -133.742065 39.155622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68346887-0.68339453) × R
    7.43400000000616e-05 × 6371000     		dl = 473.620140000392m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68346887-0.68339453) × R
    7.43400000000616e-05 × 6371000     		dr = 473.620140000392m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33433526--2.33423939) × cos(0.68346887) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.775386843583579 × 6371000     		do = 473.596801079743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33433526--2.33423939) × cos(0.68339453) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.775433786149921 × 6371000     		du = 473.625473025157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68346887)-sin(0.68339453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775386843583579-0.775433786149921)×R²
    abs(-2.33423939--2.33433526)×4.69425663418566e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69425663418566e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69425663418566e-05×40589641000000     		ar = 224311.773139919m²