Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 842 / 325
↖ ↑ ↗
← N 54.775346°
E116.015625°		 ← 22.548 km → N 54.775346°
E116.367187°		 →
↑
22.604 km
↓
↑
22.604 km
↓
N 54.572062°
E116.015625°		 ← 22.661 km →
510.948 km²		 N 54.572062°
E116.367187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 842 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 325 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82275390625 y=0.31787109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82275390625 × 210)
    floor (0.82275390625 × 1024)
    floor (842.5)     		tx = 842
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.31787109375 × 210)
    floor (0.31787109375 × 1024)
    floor (325.5)     		ty = 325
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 842 / 325 ti = "10/842/325"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/842/325.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 842 ÷ 210
    842 ÷ 1024     		x = 0.822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 325 ÷ 210
    325 ÷ 1024     		y = 0.3173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822265625 × 2 - 1) × π
    0.64453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02485464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3173828125 × 2 - 1) × π
    0.365234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.14741762930566
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02485464} λ = 2.02485464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14741762930566))-π/2
    2×atan(3.15004780623735)-π/2
    2×1.26340323047027-π/2
    2.52680646094053-1.57079632675     		φ = 0.95601013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02485464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.015625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95601013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.775346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 842 KachelY 325 2.02485464 0.95601013 116.015625 54.775346
    Oben rechts KachelX + 1 843 KachelY 325 2.03099056 0.95601013 116.367187 54.775346
    Unten links KachelX 842 KachelY + 1 326 2.02485464 0.95246216 116.015625 54.572062
    Unten rechts KachelX + 1 843 KachelY + 1 326 2.03099056 0.95246216 116.367187 54.572062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95601013-0.95246216) × R
    0.00354797000000007 × 6371000     		dl = 22604.1168700004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95601013-0.95246216) × R
    0.00354797000000007 × 6371000     		dr = 22604.1168700004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02485464-2.03099056) × cos(0.95601013) × R
    0.00613591999999974 × 0.576783880319027 × 6371000     		do = 22547.6044876718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02485464-2.03099056) × cos(0.95246216) × R
    0.00613591999999974 × 0.579678569220153 × 6371000     		du = 22660.7635108077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95601013)-sin(0.95246216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576783880319027-0.579678569220153)×R²
    abs(2.03099056-2.02485464)×0.00289468890112565×R²
    0.00613591999999974×0.00289468890112565×6371000²
    0.00613591999999974×0.00289468890112565×40589641000000     		ar = 510948152.858428m²