Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 84198 / 19973
↖ ↑ ↗
← N 77.154109°
E 51.256714°		 ← 67.91 m → N 77.154109°
E 51.259461°		 →
↑
67.85 m
↓
↑
67.85 m
↓
N 77.153499°
E 51.256714°		 ← 67.91 m →
4 608 m²		 N 77.153499°
E 51.259461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.642383575439453 y=0.152385711669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.642383575439453 × 217)
    floor (0.642383575439453 × 131072)
    floor (84198.5)     		tx = 84198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152385711669922 × 217)
    floor (0.152385711669922 × 131072)
    floor (19973.5)     		ty = 19973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84198 / 19973 ti = "17/84198/19973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84198/19973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84198 ÷ 217
    84198 ÷ 131072     		x = 0.642379760742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19973 ÷ 217
    19973 ÷ 131072     		y = 0.152381896972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.642379760742188 × 2 - 1) × π
    0.284759521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.89459842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152381896972656 × 2 - 1) × π
    0.695236206054688 × 3.1415926535     		Φ = 2.18414895738862
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.89459842} λ = 0.89459842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18414895738862))-π/2
    2×atan(8.88308545132717)-π/2
    2×1.45869478579933-π/2
    2.91738957159867-1.57079632675     		φ = 1.34659324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.89459842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.256714°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34659324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.154109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84198 KachelY 19973 0.89459842 1.34659324 51.256714 77.154109
    Oben rechts KachelX + 1 84199 KachelY 19973 0.89464636 1.34659324 51.259461 77.154109
    Unten links KachelX 84198 KachelY + 1 19974 0.89459842 1.34658259 51.256714 77.153499
    Unten rechts KachelX + 1 84199 KachelY + 1 19974 0.89464636 1.34658259 51.259461 77.153499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34659324-1.34658259) × R
    1.0650000000112e-05 × 6371000     		dl = 67.8511500007133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34659324-1.34658259) × R
    1.0650000000112e-05 × 6371000     		dr = 67.8511500007133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.89459842-0.89464636) × cos(1.34659324) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.22232946507364 × 6371000     		do = 67.9051413938762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.89459842-0.89464636) × cos(1.34658259) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.222339848508507 × 6371000     		du = 67.9083127621541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34659324)-sin(1.34658259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22232946507364-0.222339848508507)×R²
    abs(0.89464636-0.89459842)×1.03834348666454e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.03834348666454e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.03834348666454e-05×40589641000000     		ar = 4607.54952514471m²