Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8418 / 5899
↖ ↑ ↗
← N 44.918139°
E  4.965820°		 ← 1 730.13 m → N 44.918139°
E  4.987793°		 →
↑
1 730.30 m
↓
↑
1 730.30 m
↓
N 44.902578°
E  4.965820°		 ← 1 730.59 m →
2 994 041 m²		 N 44.902578°
E  4.987793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5899 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513824462890625 y=0.360076904296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513824462890625 × 214)
    floor (0.513824462890625 × 16384)
    floor (8418.5)     		tx = 8418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360076904296875 × 214)
    floor (0.360076904296875 × 16384)
    floor (5899.5)     		ty = 5899
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8418 / 5899 ti = "14/8418/5899"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8418/5899.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8418 ÷ 214
    8418 ÷ 16384     		x = 0.5137939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5899 ÷ 214
    5899 ÷ 16384     		y = 0.36004638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5137939453125 × 2 - 1) × π
    0.027587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.08666991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36004638671875 × 2 - 1) × π
    0.2799072265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.87935448663031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08666991} λ = 0.08666991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.87935448663031))-π/2
    2×atan(2.40934394061157)-π/2
    2×1.17738287571216-π/2
    2.35476575142432-1.57079632675     		φ = 0.78396942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08666991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.965820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78396942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.918139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8418 KachelY 5899 0.08666991 0.78396942 4.965820 44.918139
    Oben rechts KachelX + 1 8419 KachelY 5899 0.08705341 0.78396942 4.987793 44.918139
    Unten links KachelX 8418 KachelY + 1 5900 0.08666991 0.78369783 4.965820 44.902578
    Unten rechts KachelX + 1 8419 KachelY + 1 5900 0.08705341 0.78369783 4.987793 44.902578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78396942-0.78369783) × R
    0.000271589999999988 × 6371000     		dl = 1730.29988999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78396942-0.78369783) × R
    0.000271589999999988 × 6371000     		dr = 1730.29988999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08666991-0.08705341) × cos(0.78396942) × R
    0.000383499999999995 × 0.708116333276611 × 6371000     		do = 1730.12541259356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08666991-0.08705341) × cos(0.78369783) × R
    0.000383499999999995 × 0.708308075712955 × 6371000     		du = 1730.59389276581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78396942)-sin(0.78369783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708116333276611-0.708308075712955)×R²
    abs(0.08705341-0.08666991)×0.000191742436344122×R²
    0.000383499999999995×0.000191742436344122×6371000²
    0.000383499999999995×0.000191742436344122×40589641000000     		ar = 2994041.13509577m²