Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84177 / 19989
↖ ↑ ↗
← N 77.144336°
E 51.199036°		 ← 67.94 m → N 77.144336°
E 51.201782°		 →
↑
67.98 m
↓
↑
67.98 m
↓
N 77.143725°
E 51.199036°		 ← 67.94 m →
4 619 m²		 N 77.143725°
E 51.201782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84177 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.642223358154297 y=0.152507781982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.642223358154297 × 217)
    floor (0.642223358154297 × 131072)
    floor (84177.5)     		tx = 84177
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152507781982422 × 217)
    floor (0.152507781982422 × 131072)
    floor (19989.5)     		ty = 19989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84177 / 19989 ti = "17/84177/19989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84177/19989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84177 ÷ 217
    84177 ÷ 131072     		x = 0.642219543457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19989 ÷ 217
    19989 ÷ 131072     		y = 0.152503967285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.642219543457031 × 2 - 1) × π
    0.284439086914062 × 3.1415926535     		Λ = 0.89359175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152503967285156 × 2 - 1) × π
    0.694992065429688 × 3.1415926535     		Φ = 2.1833819669947
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.89359175} λ = 0.89359175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1833819669947))-π/2
    2×atan(8.87627482229502)-π/2
    2×1.45860949163229-π/2
    2.91721898326459-1.57079632675     		φ = 1.34642266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.89359175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.199036°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34642266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.144336°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84177 KachelY 19989 0.89359175 1.34642266 51.199036 77.144336
    Oben rechts KachelX + 1 84178 KachelY 19989 0.89363968 1.34642266 51.201782 77.144336
    Unten links KachelX 84177 KachelY + 1 19990 0.89359175 1.34641199 51.199036 77.143725
    Unten rechts KachelX + 1 84178 KachelY + 1 19990 0.89363968 1.34641199 51.201782 77.143725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34642266-1.34641199) × R
    1.06699999999904e-05 × 6371000     		dl = 67.9785699999389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34642266-1.34641199) × R
    1.06699999999904e-05 × 6371000     		dr = 67.9785699999389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.89359175-0.89363968) × cos(1.34642266) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.222495772492706 × 6371000     		do = 67.9417607548323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.89359175-0.89363968) × cos(1.34641199) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.222506175022136 × 6371000     		du = 67.9449372923365m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34642266)-sin(1.34641199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222495772492706-0.222506175022136)×R²
    abs(0.89363968-0.89359175)×1.0402529430853e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.0402529430853e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.0402529430853e-05×40589641000000     		ar = 4618.69170775845m²