Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84174 / 20035
↖ ↑ ↗
← N 77.116194°
E 51.190796°		 ← 68.09 m → N 77.116194°
E 51.193542°		 →
↑
68.11 m
↓
↑
68.11 m
↓
N 77.115582°
E 51.190796°		 ← 68.09 m →
4 637 m²		 N 77.115582°
E 51.193542°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84174 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.642200469970703 y=0.152858734130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.642200469970703 × 217)
    floor (0.642200469970703 × 131072)
    floor (84174.5)     		tx = 84174
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152858734130859 × 217)
    floor (0.152858734130859 × 131072)
    floor (20035.5)     		ty = 20035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84174 / 20035 ti = "17/84174/20035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84174/20035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84174 ÷ 217
    84174 ÷ 131072     		x = 0.642196655273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20035 ÷ 217
    20035 ÷ 131072     		y = 0.152854919433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.642196655273438 × 2 - 1) × π
    0.284393310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.89344794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152854919433594 × 2 - 1) × π
    0.694290161132812 × 3.1415926535     		Φ = 2.18117686961217
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.89344794} λ = 0.89344794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18117686961217))-π/2
    2×atan(8.85672333630547)-π/2
    2×1.4583639153373-π/2
    2.9167278306746-1.57079632675     		φ = 1.34593150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.89344794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.190796°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34593150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.116194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84174 KachelY 20035 0.89344794 1.34593150 51.190796 77.116194
    Oben rechts KachelX + 1 84175 KachelY 20035 0.89349587 1.34593150 51.193542 77.116194
    Unten links KachelX 84174 KachelY + 1 20036 0.89344794 1.34592081 51.190796 77.115582
    Unten rechts KachelX + 1 84175 KachelY + 1 20036 0.89349587 1.34592081 51.193542 77.115582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34593150-1.34592081) × R
    1.06900000000909e-05 × 6371000     		dl = 68.1059900005792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34593150-1.34592081) × R
    1.06900000000909e-05 × 6371000     		dr = 68.1059900005792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.89344794-0.89349587) × cos(1.34593150) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.222974594050101 × 6371000     		do = 68.0879746774488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.89344794-0.89349587) × cos(1.34592081) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.222985014908659 × 6371000     		du = 68.0911568119724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34593150)-sin(1.34592081))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222974594050101-0.222985014908659)×R²
    abs(0.89349587-0.89344794)×1.04208585579579e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.04208585579579e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.04208585579579e-05×40589641000000     		ar = 4637.30728390526m²