Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8417 / 24865
↖ ↑ ↗
← N 39.770548°
W133.764038°		 ← 469.51 m → N 39.770548°
W133.758545°		 →
↑
469.48 m
↓
↑
469.48 m
↓
N 39.766325°
W133.764038°		 ← 469.54 m →
220 431 m²		 N 39.766325°
W133.758545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128440856933594 y=0.379417419433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128440856933594 × 216)
    floor (0.128440856933594 × 65536)
    floor (8417.5)     		tx = 8417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379417419433594 × 216)
    floor (0.379417419433594 × 65536)
    floor (24865.5)     		ty = 24865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8417 / 24865 ti = "16/8417/24865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8417/24865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8417 ÷ 216
    8417 ÷ 65536     		x = 0.128433227539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24865 ÷ 216
    24865 ÷ 65536     		y = 0.379409790039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128433227539062 × 2 - 1) × π
    -0.743133544921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.33462289
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379409790039062 × 2 - 1) × π
    0.241180419921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.757690635394608
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33462289} λ = -2.33462289}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.757690635394608))-π/2
    2×atan(2.13334385857976)-π/2
    2×1.13246166299047-π/2
    2.26492332598095-1.57079632675     		φ = 0.69412700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33462289} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.764038°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69412700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.770548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8417 KachelY 24865 -2.33462289 0.69412700 -133.764038 39.770548
    Oben rechts KachelX + 1 8418 KachelY 24865 -2.33452701 0.69412700 -133.758545 39.770548
    Unten links KachelX 8417 KachelY + 1 24866 -2.33462289 0.69405331 -133.764038 39.766325
    Unten rechts KachelX + 1 8418 KachelY + 1 24866 -2.33452701 0.69405331 -133.758545 39.766325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69412700-0.69405331) × R
    7.36900000000151e-05 × 6371000     		dl = 469.478990000096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69412700-0.69405331) × R
    7.36900000000151e-05 × 6371000     		dr = 469.478990000096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33462289--2.33452701) × cos(0.69412700) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.768612465531786 × 6371000     		do = 469.508062116232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33462289--2.33452701) × cos(0.69405331) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.768659604019993 × 6371000     		du = 469.536856731519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69412700)-sin(0.69405331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768612465531786-0.768659604019993)×R²
    abs(-2.33452701--2.33462289)×4.71384882074766e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.71384882074766e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.71384882074766e-05×40589641000000     		ar = 220430.93013229m²