Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8416 / 25375
↖ ↑ ↗
← S 69.775154°
W 87.539062°		 ← 422.30 m → S 69.775154°
W 87.528076°		 →
↑
422.33 m
↓
↑
422.33 m
↓
S 69.778952°
W 87.539062°		 ← 422.23 m →
178 338 m²		 S 69.778952°
W 87.528076°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.256851196289062 y=0.774398803710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.256851196289062 × 215)
    floor (0.256851196289062 × 32768)
    floor (8416.5)     		tx = 8416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774398803710938 × 215)
    floor (0.774398803710938 × 32768)
    floor (25375.5)     		ty = 25375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8416 / 25375 ti = "15/8416/25375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8416/25375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8416 ÷ 215
    8416 ÷ 32768     		x = 0.2568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25375 ÷ 215
    25375 ÷ 32768     		y = 0.774383544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2568359375 × 2 - 1) × π
    -0.486328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.52784486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774383544921875 × 2 - 1) × π
    -0.54876708984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.7240026579357
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.52784486} λ = -1.52784486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7240026579357))-π/2
    2×atan(0.178350839895206)-π/2
    2×0.176495075944486-π/2
    0.352990151888972-1.57079632675     		φ = -1.21780617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.52784486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.539062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21780617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.775154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8416 KachelY 25375 -1.52784486 -1.21780617 -87.539062 -69.775154
    Oben rechts KachelX + 1 8417 KachelY 25375 -1.52765312 -1.21780617 -87.528076 -69.775154
    Unten links KachelX 8416 KachelY + 1 25376 -1.52784486 -1.21787246 -87.539062 -69.778952
    Unten rechts KachelX + 1 8417 KachelY + 1 25376 -1.52765312 -1.21787246 -87.528076 -69.778952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21780617--1.21787246) × R
    6.62899999999134e-05 × 6371000     		dl = 422.333589999448m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21780617--1.21787246) × R
    6.62899999999134e-05 × 6371000     		dr = 422.333589999448m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.52784486--1.52765312) × cos(-1.21780617) × R
    0.000191739999999996 × 0.345705142040047 × 6371000     		do = 422.304945568338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.52784486--1.52765312) × cos(-1.21787246) × R
    0.000191739999999996 × 0.345642938510007 × 6371000     		du = 422.22895925754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21780617)-sin(-1.21787246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345705142040047-0.345642938510007)×R²
    abs(-1.52765312--1.52784486)×6.22035300398283e-05×R²
    0.000191739999999996×6.22035300398283e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.22035300398283e-05×40589641000000     		ar = 178337.518016231m²