Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8416 / 24864
↖ ↑ ↗
← N 39.774770°
W133.769531°		 ← 469.43 m → N 39.774770°
W133.764038°		 →
↑
469.48 m
↓
↑
469.48 m
↓
N 39.770548°
W133.769531°		 ← 469.46 m →
220 394 m²		 N 39.770548°
W133.764038°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128425598144531 y=0.379402160644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128425598144531 × 216)
    floor (0.128425598144531 × 65536)
    floor (8416.5)     		tx = 8416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379402160644531 × 216)
    floor (0.379402160644531 × 65536)
    floor (24864.5)     		ty = 24864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8416 / 24864 ti = "16/8416/24864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8416/24864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8416 ÷ 216
    8416 ÷ 65536     		x = 0.12841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24864 ÷ 216
    24864 ÷ 65536     		y = 0.37939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12841796875 × 2 - 1) × π
    -0.7431640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.33471876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37939453125 × 2 - 1) × π
    0.2412109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.757786509193848
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33471876} λ = -2.33471876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.757786509193848))-π/2
    2×atan(2.1335484001655)-π/2
    2×1.13249850675921-π/2
    2.26499701351843-1.57079632675     		φ = 0.69420069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33471876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.769531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69420069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.774770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8416 KachelY 24864 -2.33471876 0.69420069 -133.769531 39.774770
    Oben rechts KachelX + 1 8417 KachelY 24864 -2.33462289 0.69420069 -133.764038 39.774770
    Unten links KachelX 8416 KachelY + 1 24865 -2.33471876 0.69412700 -133.769531 39.770548
    Unten rechts KachelX + 1 8417 KachelY + 1 24865 -2.33462289 0.69412700 -133.764038 39.770548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69420069-0.69412700) × R
    7.36899999999041e-05 × 6371000     		dl = 469.478989999389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69420069-0.69412700) × R
    7.36899999999041e-05 × 6371000     		dr = 469.478989999389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33471876--2.33462289) × cos(0.69420069) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.768565322869847 × 6371000     		do = 469.430299654993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33471876--2.33462289) × cos(0.69412700) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.768612465531786 × 6371000     		du = 469.459093816351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69420069)-sin(0.69412700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768565322869847-0.768612465531786)×R²
    abs(-2.33462289--2.33471876)×4.71426619391702e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71426619391702e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71426619391702e-05×40589641000000     		ar = 220394.422183741m²