Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8415 / 24863
↖ ↑ ↗
← N 39.778991°
W133.775024°		 ← 469.40 m → N 39.778991°
W133.769531°		 →
↑
469.42 m
↓
↑
469.42 m
↓
N 39.774770°
W133.775024°		 ← 469.43 m →
220 351 m²		 N 39.774770°
W133.769531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24863 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128410339355469 y=0.379386901855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128410339355469 × 216)
    floor (0.128410339355469 × 65536)
    floor (8415.5)     		tx = 8415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379386901855469 × 216)
    floor (0.379386901855469 × 65536)
    floor (24863.5)     		ty = 24863
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8415 / 24863 ti = "16/8415/24863"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8415/24863.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8415 ÷ 216
    8415 ÷ 65536     		x = 0.128402709960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24863 ÷ 216
    24863 ÷ 65536     		y = 0.379379272460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128402709960938 × 2 - 1) × π
    -0.743194580078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.33481463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379379272460938 × 2 - 1) × π
    0.241241455078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.757882382993088
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33481463} λ = -2.33481463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.757882382993088))-π/2
    2×atan(2.13375296136236)-π/2
    2×1.13253534826812-π/2
    2.26507069653625-1.57079632675     		φ = 0.69427437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33481463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.775024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69427437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.778991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8415 KachelY 24863 -2.33481463 0.69427437 -133.775024 39.778991
    Oben rechts KachelX + 1 8416 KachelY 24863 -2.33471876 0.69427437 -133.769531 39.778991
    Unten links KachelX 8415 KachelY + 1 24864 -2.33481463 0.69420069 -133.775024 39.774770
    Unten rechts KachelX + 1 8416 KachelY + 1 24864 -2.33471876 0.69420069 -133.769531 39.774770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69427437-0.69420069) × R
    7.36800000000759e-05 × 6371000     		dl = 469.415280000484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69427437-0.69420069) × R
    7.36800000000759e-05 × 6371000     		dr = 469.415280000484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33481463--2.33471876) × cos(0.69427437) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.768518182432711 × 6371000     		do = 469.401506852518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33481463--2.33471876) × cos(0.69420069) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.768565322869847 × 6371000     		du = 469.430299654993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69427437)-sin(0.69420069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768518182432711-0.768565322869847)×R²
    abs(-2.33471876--2.33481463)×4.71404371356066e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71404371356066e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71404371356066e-05×40589641000000     		ar = 220350.997762295m²