Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 841 / 210
↖ ↑ ↗
← N 80.589727°
W 32.167969°		 ← 3 195.82 m → N 80.589727°
W 31.992188°		 →
↑
3 200.66 m
↓
↑
3 200.66 m
↓
N 80.560943°
W 32.167969°		 ← 3 205.51 m →
10 244 253 m²		 N 80.560943°
W 31.992188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410888671875 y=0.102783203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410888671875 × 211)
    floor (0.410888671875 × 2048)
    floor (841.5)     		tx = 841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102783203125 × 211)
    floor (0.102783203125 × 2048)
    floor (210.5)     		ty = 210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 841 / 210 ti = "11/841/210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/841/210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 841 ÷ 211
    841 ÷ 2048     		x = 0.41064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 210 ÷ 211
    210 ÷ 2048     		y = 0.1025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41064453125 × 2 - 1) × π
    -0.1787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.56143697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1025390625 × 2 - 1) × π
    0.794921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.49732072260645
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56143697} λ = -0.56143697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49732072260645))-π/2
    2×atan(12.1498973671951)-π/2
    2×1.48867620234983-π/2
    2.97735240469966-1.57079632675     		φ = 1.40655608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56143697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.167969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40655608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.589727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 841 KachelY 210 -0.56143697 1.40655608 -32.167969 80.589727
    Oben rechts KachelX + 1 842 KachelY 210 -0.55836901 1.40655608 -31.992188 80.589727
    Unten links KachelX 841 KachelY + 1 211 -0.56143697 1.40605370 -32.167969 80.560943
    Unten rechts KachelX + 1 842 KachelY + 1 211 -0.55836901 1.40605370 -31.992188 80.560943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40655608-1.40605370) × R
    0.000502380000000135 × 6371000     		dl = 3200.66298000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40655608-1.40605370) × R
    0.000502380000000135 × 6371000     		dr = 3200.66298000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56143697--0.55836901) × cos(1.40655608) × R
    0.00306795999999998 × 0.163502849150264 × 6371000     		do = 3195.82230107458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56143697--0.55836901) × cos(1.40605370) × R
    0.00306795999999998 × 0.163998447899479 × 6371000     		du = 3205.50926092485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40655608)-sin(1.40605370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163502849150264-0.163998447899479)×R²
    abs(-0.55836901--0.56143697)×0.000495598749214649×R²
    0.00306795999999998×0.000495598749214649×6371000²
    0.00306795999999998×0.000495598749214649×40589641000000     		ar = 10244252.6920612m²