Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 841 / 199
↖ ↑ ↗
← N 80.900668°
W 32.167969°		 ← 3 091.13 m → N 80.900668°
W 31.992188°		 →
↑
3 095.80 m
↓
↑
3 095.80 m
↓
N 80.872827°
W 32.167969°		 ← 3 100.51 m →
9 584 020 m²		 N 80.872827°
W 31.992188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410888671875 y=0.097412109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410888671875 × 211)
    floor (0.410888671875 × 2048)
    floor (841.5)     		tx = 841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.097412109375 × 211)
    floor (0.097412109375 × 2048)
    floor (199.5)     		ty = 199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 841 / 199 ti = "11/841/199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/841/199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 841 ÷ 211
    841 ÷ 2048     		x = 0.41064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 199 ÷ 211
    199 ÷ 2048     		y = 0.09716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41064453125 × 2 - 1) × π
    -0.1787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.56143697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09716796875 × 2 - 1) × π
    0.8056640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.53106829993897
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56143697} λ = -0.56143697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53106829993897))-π/2
    2×atan(12.5669242124965)-π/2
    2×1.49138968011671-π/2
    2.98277936023343-1.57079632675     		φ = 1.41198303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56143697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.167969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41198303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.900668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 841 KachelY 199 -0.56143697 1.41198303 -32.167969 80.900668
    Oben rechts KachelX + 1 842 KachelY 199 -0.55836901 1.41198303 -31.992188 80.900668
    Unten links KachelX 841 KachelY + 1 200 -0.56143697 1.41149711 -32.167969 80.872827
    Unten rechts KachelX + 1 842 KachelY + 1 200 -0.55836901 1.41149711 -31.992188 80.872827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41198303-1.41149711) × R
    0.000485920000000029 × 6371000     		dl = 3095.79632000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41198303-1.41149711) × R
    0.000485920000000029 × 6371000     		dr = 3095.79632000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56143697--0.55836901) × cos(1.41198303) × R
    0.00306795999999998 × 0.158146548926799 × 6371000     		do = 3091.12820066982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56143697--0.55836901) × cos(1.41149711) × R
    0.00306795999999998 × 0.15862633525071 × 6371000     		du = 3100.50609127951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41198303)-sin(1.41149711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158146548926799-0.15862633525071)×R²
    abs(-0.55836901--0.56143697)×0.000479786323910519×R²
    0.00306795999999998×0.000479786323910519×6371000²
    0.00306795999999998×0.000479786323910519×40589641000000     		ar = 9584019.51649243m²