Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 841 / 197
↖ ↑ ↗
← N 80.956099°
W 32.167969°		 ← 3 072.46 m → N 80.956099°
W 31.992188°		 →
↑
3 077.07 m
↓
↑
3 077.07 m
↓
N 80.928426°
W 32.167969°		 ← 3 081.78 m →
9 468 489 m²		 N 80.928426°
W 31.992188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410888671875 y=0.096435546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410888671875 × 211)
    floor (0.410888671875 × 2048)
    floor (841.5)     		tx = 841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.096435546875 × 211)
    floor (0.096435546875 × 2048)
    floor (197.5)     		ty = 197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 841 / 197 ti = "11/841/197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/841/197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 841 ÷ 211
    841 ÷ 2048     		x = 0.41064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 197 ÷ 211
    197 ÷ 2048     		y = 0.09619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41064453125 × 2 - 1) × π
    -0.1787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.56143697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09619140625 × 2 - 1) × π
    0.8076171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.53720422309033
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56143697} λ = -0.56143697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53720422309033))-π/2
    2×atan(12.6442709478532)-π/2
    2×1.49187340072562-π/2
    2.98374680145124-1.57079632675     		φ = 1.41295047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56143697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.167969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41295047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.956099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 841 KachelY 197 -0.56143697 1.41295047 -32.167969 80.956099
    Oben rechts KachelX + 1 842 KachelY 197 -0.55836901 1.41295047 -31.992188 80.956099
    Unten links KachelX 841 KachelY + 1 198 -0.56143697 1.41246749 -32.167969 80.928426
    Unten rechts KachelX + 1 842 KachelY + 1 198 -0.55836901 1.41246749 -31.992188 80.928426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41295047-1.41246749) × R
    0.000482979999999911 × 6371000     		dl = 3077.06557999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41295047-1.41246749) × R
    0.000482979999999911 × 6371000     		dr = 3077.06557999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56143697--0.55836901) × cos(1.41295047) × R
    0.00306795999999998 × 0.157191209669962 × 6371000     		do = 3072.45516519698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56143697--0.55836901) × cos(1.41246749) × R
    0.00306795999999998 × 0.157668167000313 × 6371000     		du = 3081.77776037449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41295047)-sin(1.41246749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157191209669962-0.157668167000313)×R²
    abs(-0.55836901--0.56143697)×0.000476957330350969×R²
    0.00306795999999998×0.000476957330350969×6371000²
    0.00306795999999998×0.000476957330350969×40589641000000     		ar = 9468489.33734359m²