Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 841 / 185
↖ ↑ ↗
← N 81.281717°
W 32.167969°		 ← 2 962.71 m → N 81.281717°
W 31.992188°		 →
↑
2 967.17 m
↓
↑
2 967.17 m
↓
N 81.255032°
W 32.167969°		 ← 2 971.70 m →
8 804 186 m²		 N 81.255032°
W 31.992188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410888671875 y=0.090576171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410888671875 × 211)
    floor (0.410888671875 × 2048)
    floor (841.5)     		tx = 841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.090576171875 × 211)
    floor (0.090576171875 × 2048)
    floor (185.5)     		ty = 185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 841 / 185 ti = "11/841/185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/841/185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 841 ÷ 211
    841 ÷ 2048     		x = 0.41064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 185 ÷ 211
    185 ÷ 2048     		y = 0.09033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41064453125 × 2 - 1) × π
    -0.1787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.56143697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09033203125 × 2 - 1) × π
    0.8193359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.57401976199854
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56143697} λ = -0.56143697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57401976199854))-π/2
    2×atan(13.1184516490628)-π/2
    2×1.49471495504833-π/2
    2.98942991009665-1.57079632675     		φ = 1.41863358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56143697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.167969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41863358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.281717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 841 KachelY 185 -0.56143697 1.41863358 -32.167969 81.281717
    Oben rechts KachelX + 1 842 KachelY 185 -0.55836901 1.41863358 -31.992188 81.281717
    Unten links KachelX 841 KachelY + 1 186 -0.56143697 1.41816785 -32.167969 81.255032
    Unten rechts KachelX + 1 842 KachelY + 1 186 -0.55836901 1.41816785 -31.992188 81.255032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41863358-1.41816785) × R
    0.000465730000000164 × 6371000     		dl = 2967.16583000105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41863358-1.41816785) × R
    0.000465730000000164 × 6371000     		dr = 2967.16583000105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56143697--0.55836901) × cos(1.41863358) × R
    0.00306795999999998 × 0.151576242789862 × 6371000     		do = 2962.70517326426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56143697--0.55836901) × cos(1.41816785) × R
    0.00306795999999998 × 0.152036575089231 × 6371000     		du = 2971.70281603242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41863358)-sin(1.41816785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151576242789862-0.152036575089231)×R²
    abs(-0.55836901--0.56143697)×0.000460332299369537×R²
    0.00306795999999998×0.000460332299369537×6371000²
    0.00306795999999998×0.000460332299369537×40589641000000     		ar = 8804186.46270409m²