Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 84086 / 21126
↖ ↑ ↗
← N 76.430738°
E 50.949097°		 ← 71.64 m → N 76.430738°
E 50.951843°		 →
↑
71.61 m
↓
↑
71.61 m
↓
N 76.430094°
E 50.949097°		 ← 71.65 m →
5 131 m²		 N 76.430094°
E 50.951843°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 84086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.641529083251953 y=0.161182403564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.641529083251953 × 217)
    floor (0.641529083251953 × 131072)
    floor (84086.5)     		tx = 84086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161182403564453 × 217)
    floor (0.161182403564453 × 131072)
    floor (21126.5)     		ty = 21126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 84086 / 21126 ti = "17/84086/21126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/84086/21126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 84086 ÷ 217
    84086 ÷ 131072     		x = 0.641525268554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21126 ÷ 217
    21126 ÷ 131072     		y = 0.161178588867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.641525268554688 × 2 - 1) × π
    0.283050537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.88922949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161178588867188 × 2 - 1) × π
    0.677642822265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.12887771212669
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88922949} λ = 0.88922949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12887771212669))-π/2
    2×atan(8.40542820586913)-π/2
    2×1.45238217464196-π/2
    2.90476434928392-1.57079632675     		φ = 1.33396802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88922949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.949097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33396802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.430738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 84086 KachelY 21126 0.88922949 1.33396802 50.949097 76.430738
    Oben rechts KachelX + 1 84087 KachelY 21126 0.88927742 1.33396802 50.951843 76.430738
    Unten links KachelX 84086 KachelY + 1 21127 0.88922949 1.33395678 50.949097 76.430094
    Unten rechts KachelX + 1 84087 KachelY + 1 21127 0.88927742 1.33395678 50.951843 76.430094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33396802-1.33395678) × R
    1.12399999998569e-05 × 6371000     		dl = 71.6100399990884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33396802-1.33395678) × R
    1.12399999998569e-05 × 6371000     		dr = 71.6100399990884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88922949-0.88927742) × cos(1.33396802) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.234620649937541 × 6371000     		do = 71.6442379448908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88922949-0.88927742) × cos(1.33395678) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.234631576180687 × 6371000     		du = 71.6475744046781m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33396802)-sin(1.33395678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.234620649937541-0.234631576180687)×R²
    abs(0.88927742-0.88922949)×1.09262431459423e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.09262431459423e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.09262431459423e-05×40589641000000     		ar = 5130.56620706819m²