Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8404 / 4955
↖ ↑ ↗
← N 77.247205°
W 87.670899°		 ← 269.67 m → N 77.247205°
W 87.659912°		 →
↑
269.68 m
↓
↑
269.68 m
↓
N 77.244780°
W 87.670899°		 ← 269.72 m →
72 733 m²		 N 77.244780°
W 87.659912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8404 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.256484985351562 y=0.151229858398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.256484985351562 × 215)
    floor (0.256484985351562 × 32768)
    floor (8404.5)     		tx = 8404
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151229858398438 × 215)
    floor (0.151229858398438 × 32768)
    floor (4955.5)     		ty = 4955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8404 / 4955 ti = "15/8404/4955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8404/4955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8404 ÷ 215
    8404 ÷ 32768     		x = 0.2564697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4955 ÷ 215
    4955 ÷ 32768     		y = 0.151214599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2564697265625 × 2 - 1) × π
    -0.487060546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.53014584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151214599609375 × 2 - 1) × π
    0.69757080078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.19148330303049
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.53014584} λ = -1.53014584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19148330303049))-π/2
    2×atan(8.94847657782551)-π/2
    2×1.45950719784323-π/2
    2.91901439568645-1.57079632675     		φ = 1.34821807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.53014584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.670899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34821807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.247205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8404 KachelY 4955 -1.53014584 1.34821807 -87.670899 77.247205
    Oben rechts KachelX + 1 8405 KachelY 4955 -1.52995409 1.34821807 -87.659912 77.247205
    Unten links KachelX 8404 KachelY + 1 4956 -1.53014584 1.34817574 -87.670899 77.244780
    Unten rechts KachelX + 1 8405 KachelY + 1 4956 -1.52995409 1.34817574 -87.659912 77.244780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34821807-1.34817574) × R
    4.23299999998683e-05 × 6371000     		dl = 269.684429999161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34821807-1.34817574) × R
    4.23299999998683e-05 × 6371000     		dr = 269.684429999161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.53014584--1.52995409) × cos(1.34821807) × R
    0.000191750000000157 × 0.220745009192843 × 6371000     		do = 269.670767471808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.53014584--1.52995409) × cos(1.34817574) × R
    0.000191750000000157 × 0.220786294779757 × 6371000     		du = 269.721203565242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34821807)-sin(1.34817574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220745009192843-0.220786294779757)×R²
    abs(-1.52995409--1.53014584)×4.12855869146578e-05×R²
    0.000191750000000157×4.12855869146578e-05×6371000²
    0.000191750000000157×4.12855869146578e-05×40589641000000     		ar = 72732.8081389834m²