Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 840 / 200
↖ ↑ ↗
← N 80.872827°
W 32.343750°		 ← 3 100.51 m → N 80.872827°
W 32.167969°		 →
↑
3 105.23 m
↓
↑
3 105.23 m
↓
N 80.844901°
W 32.343750°		 ← 3 109.91 m →
9 642 374 m²		 N 80.844901°
W 32.167969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410400390625 y=0.097900390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410400390625 × 211)
    floor (0.410400390625 × 2048)
    floor (840.5)     		tx = 840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.097900390625 × 211)
    floor (0.097900390625 × 2048)
    floor (200.5)     		ty = 200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 840 / 200 ti = "11/840/200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/840/200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 840 ÷ 211
    840 ÷ 2048     		x = 0.41015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 200 ÷ 211
    200 ÷ 2048     		y = 0.09765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41015625 × 2 - 1) × π
    -0.1796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56450493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09765625 × 2 - 1) × π
    0.8046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.52800033836328
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56450493} λ = -0.56450493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52800033836328))-π/2
    2×atan(12.528428453837)-π/2
    2×1.49114671854133-π/2
    2.98229343708265-1.57079632675     		φ = 1.41149711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56450493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.343750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41149711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.872827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 840 KachelY 200 -0.56450493 1.41149711 -32.343750 80.872827
    Oben rechts KachelX + 1 841 KachelY 200 -0.56143697 1.41149711 -32.167969 80.872827
    Unten links KachelX 840 KachelY + 1 201 -0.56450493 1.41100971 -32.343750 80.844901
    Unten rechts KachelX + 1 841 KachelY + 1 201 -0.56143697 1.41100971 -32.167969 80.844901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41149711-1.41100971) × R
    0.000487399999999916 × 6371000     		dl = 3105.22539999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41149711-1.41100971) × R
    0.000487399999999916 × 6371000     		dr = 3105.22539999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56450493--0.56143697) × cos(1.41149711) × R
    0.00306795999999998 × 0.15862633525071 × 6371000     		do = 3100.50609127951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56450493--0.56143697) × cos(1.41100971) × R
    0.00306795999999998 × 0.159107545266883 × 6371000     		du = 3109.91180933996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41149711)-sin(1.41100971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15862633525071-0.159107545266883)×R²
    abs(-0.56143697--0.56450493)×0.000481210016173211×R²
    0.00306795999999998×0.000481210016173211×6371000²
    0.00306795999999998×0.000481210016173211×40589641000000     		ar = 9642373.89568644m²