Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 840 / 167
↖ ↑ ↗
← N 81.748454°
W 32.343750°		 ← 2 805.22 m → N 81.748454°
W 32.167969°		 →
↑
2 809.48 m
↓
↑
2 809.48 m
↓
N 81.723188°
W 32.343750°		 ← 2 813.75 m →
7 893 216 m²		 N 81.723188°
W 32.167969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410400390625 y=0.081787109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410400390625 × 211)
    floor (0.410400390625 × 2048)
    floor (840.5)     		tx = 840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.081787109375 × 211)
    floor (0.081787109375 × 2048)
    floor (167.5)     		ty = 167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 840 / 167 ti = "11/840/167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/840/167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 840 ÷ 211
    840 ÷ 2048     		x = 0.41015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 167 ÷ 211
    167 ÷ 2048     		y = 0.08154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41015625 × 2 - 1) × π
    -0.1796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56450493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08154296875 × 2 - 1) × π
    0.8369140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.62924307036084
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56450493} λ = -0.56450493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62924307036084))-π/2
    2×atan(13.8632724079176)-π/2
    2×1.49878800341259-π/2
    2.99757600682518-1.57079632675     		φ = 1.42677968
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56450493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.343750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42677968 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.748454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 840 KachelY 167 -0.56450493 1.42677968 -32.343750 81.748454
    Oben rechts KachelX + 1 841 KachelY 167 -0.56143697 1.42677968 -32.167969 81.748454
    Unten links KachelX 840 KachelY + 1 168 -0.56450493 1.42633870 -32.343750 81.723188
    Unten rechts KachelX + 1 841 KachelY + 1 168 -0.56143697 1.42633870 -32.167969 81.723188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42677968-1.42633870) × R
    0.000440980000000035 × 6371000     		dl = 2809.48358000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42677968-1.42633870) × R
    0.000440980000000035 × 6371000     		dr = 2809.48358000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56450493--0.56143697) × cos(1.42677968) × R
    0.00306795999999998 × 0.143519326202442 × 6371000     		do = 2805.2248978942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56450493--0.56143697) × cos(1.42633870) × R
    0.00306795999999998 × 0.143955726994628 × 6371000     		du = 2813.75477606527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42677968)-sin(1.42633870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143519326202442-0.143955726994628)×R²
    abs(-0.56143697--0.56450493)×0.000436400792186015×R²
    0.00306795999999998×0.000436400792186015×6371000²
    0.00306795999999998×0.000436400792186015×40589641000000     		ar = 7893215.69307598m²