Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8399 / 24815
↖ ↑ ↗
← N 39.981330°
W133.862915°		 ← 468.02 m → N 39.981330°
W133.857422°		 →
↑
468.08 m
↓
↑
468.08 m
↓
N 39.977120°
W133.862915°		 ← 468.05 m →
219 076 m²		 N 39.977120°
W133.857422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128166198730469 y=0.378654479980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128166198730469 × 216)
    floor (0.128166198730469 × 65536)
    floor (8399.5)     		tx = 8399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378654479980469 × 216)
    floor (0.378654479980469 × 65536)
    floor (24815.5)     		ty = 24815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8399 / 24815 ti = "16/8399/24815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8399/24815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8399 ÷ 216
    8399 ÷ 65536     		x = 0.128158569335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24815 ÷ 216
    24815 ÷ 65536     		y = 0.378646850585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128158569335938 × 2 - 1) × π
    -0.743682861328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.33634861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.378646850585938 × 2 - 1) × π
    0.242706298828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.762484325356613
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33634861} λ = -2.33634861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.762484325356613))-π/2
    2×atan(2.14359499838266)-π/2
    2×1.1343010819465-π/2
    2.26860216389301-1.57079632675     		φ = 0.69780584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33634861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.862915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69780584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.981330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8399 KachelY 24815 -2.33634861 0.69780584 -133.862915 39.981330
    Oben rechts KachelX + 1 8400 KachelY 24815 -2.33625274 0.69780584 -133.857422 39.981330
    Unten links KachelX 8399 KachelY + 1 24816 -2.33634861 0.69773237 -133.862915 39.977120
    Unten rechts KachelX + 1 8400 KachelY + 1 24816 -2.33625274 0.69773237 -133.857422 39.977120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69780584-0.69773237) × R
    7.34700000000199e-05 × 6371000     		dl = 468.077370000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69780584-0.69773237) × R
    7.34700000000199e-05 × 6371000     		dr = 468.077370000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33634861--2.33625274) × cos(0.69780584) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.766253861727222 × 6371000     		do = 468.018487458248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33634861--2.33625274) × cos(0.69773237) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.766301066922434 × 6371000     		du = 468.047319814164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69780584)-sin(0.69773237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766253861727222-0.766301066922434)×R²
    abs(-2.33625274--2.33634861)×4.72051952115082e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72051952115082e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72051952115082e-05×40589641000000     		ar = 219075.610706086m²