Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8397 / 24981
↖ ↑ ↗
← N 39.279042°
W133.873901°		 ← 472.79 m → N 39.279042°
W133.868408°		 →
↑
472.86 m
↓
↑
472.86 m
↓
N 39.274790°
W133.873901°		 ← 472.82 m →
223 570 m²		 N 39.274790°
W133.868408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128135681152344 y=0.381187438964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128135681152344 × 216)
    floor (0.128135681152344 × 65536)
    floor (8397.5)     		tx = 8397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381187438964844 × 216)
    floor (0.381187438964844 × 65536)
    floor (24981.5)     		ty = 24981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8397 / 24981 ti = "16/8397/24981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8397/24981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8397 ÷ 216
    8397 ÷ 65536     		x = 0.128128051757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24981 ÷ 216
    24981 ÷ 65536     		y = 0.381179809570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128128051757812 × 2 - 1) × π
    -0.743743896484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.33654036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381179809570312 × 2 - 1) × π
    0.237640380859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.746569274682755
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33654036} λ = -2.33654036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.746569274682755))-π/2
    2×atan(2.10974961523821)-π/2
    2×1.12817246743194-π/2
    2.25634493486387-1.57079632675     		φ = 0.68554861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33654036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.873901°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68554861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.279042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8397 KachelY 24981 -2.33654036 0.68554861 -133.873901 39.279042
    Oben rechts KachelX + 1 8398 KachelY 24981 -2.33644449 0.68554861 -133.868408 39.279042
    Unten links KachelX 8397 KachelY + 1 24982 -2.33654036 0.68547439 -133.873901 39.274790
    Unten rechts KachelX + 1 8398 KachelY + 1 24982 -2.33644449 0.68547439 -133.868408 39.274790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68554861-0.68547439) × R
    7.42200000000137e-05 × 6371000     		dl = 472.855620000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68554861-0.68547439) × R
    7.42200000000137e-05 × 6371000     		dr = 472.855620000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33654036--2.33644449) × cos(0.68554861) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.774071839828919 × 6371000     		do = 472.793612868892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33654036--2.33644449) × cos(0.68547439) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.77411882621336 × 6371000     		du = 472.822311577865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68554861)-sin(0.68547439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.774071839828919-0.77411882621336)×R²
    abs(-2.33644449--2.33654036)×4.69863844406726e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69863844406726e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69863844406726e-05×40589641000000     		ar = 223569.902220777m²