Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8394 / 8715
↖ ↑ ↗
← S 11.415418°
E  4.438477°		 ← 2 394.88 m → S 11.415418°
E  4.460449°		 →
↑
2 394.80 m
↓
↑
2 394.80 m
↓
S 11.436955°
E  4.438477°		 ← 2 394.70 m →
5 735 036 m²		 S 11.436955°
E  4.460449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8394 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.512359619140625 y=0.531951904296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.512359619140625 × 214)
    floor (0.512359619140625 × 16384)
    floor (8394.5)     		tx = 8394
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531951904296875 × 214)
    floor (0.531951904296875 × 16384)
    floor (8715.5)     		ty = 8715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8394 / 8715 ti = "14/8394/8715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8394/8715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8394 ÷ 214
    8394 ÷ 16384     		x = 0.5123291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8715 ÷ 214
    8715 ÷ 16384     		y = 0.53192138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5123291015625 × 2 - 1) × π
    0.024658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.07746603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53192138671875 × 2 - 1) × π
    -0.0638427734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.200567988010315
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07746603} λ = 0.07746603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.200567988010315))-π/2
    2×atan(0.818265855867077)-π/2
    2×0.685779848238537-π/2
    1.37155969647707-1.57079632675     		φ = -0.19923663
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07746603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.438477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19923663 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.415418°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8394 KachelY 8715 0.07746603 -0.19923663 4.438477 -11.415418
    Oben rechts KachelX + 1 8395 KachelY 8715 0.07784952 -0.19923663 4.460449 -11.415418
    Unten links KachelX 8394 KachelY + 1 8716 0.07746603 -0.19961252 4.438477 -11.436955
    Unten rechts KachelX + 1 8395 KachelY + 1 8716 0.07784952 -0.19961252 4.460449 -11.436955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19923663--0.19961252) × R
    0.00037588999999999 × 6371000     		dl = 2394.79518999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19923663--0.19961252) × R
    0.00037588999999999 × 6371000     		dr = 2394.79518999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07746603-0.07784952) × cos(-0.19923663) × R
    0.00038349 × 0.980217950474636 × 6371000     		do = 2394.88299402312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07746603-0.07784952) × cos(-0.19961252) × R
    0.00038349 × 0.980143484657647 × 6371000     		du = 2394.7010580377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19923663)-sin(-0.19961252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980217950474636-0.980143484657647)×R²
    abs(0.07784952-0.07746603)×7.44658169886669e-05×R²
    0.00038349×7.44658169886669e-05×6371000²
    0.00038349×7.44658169886669e-05×40589641000000     		ar = 5735036.49251458m²