Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8393 / 25359
↖ ↑ ↗
← S 69.714298°
W 87.791748°		 ← 423.54 m → S 69.714298°
W 87.780762°		 →
↑
423.48 m
↓
↑
423.48 m
↓
S 69.718107°
W 87.791748°		 ← 423.47 m →
179 347 m²		 S 69.718107°
W 87.780762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.256149291992188 y=0.773910522460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.256149291992188 × 215)
    floor (0.256149291992188 × 32768)
    floor (8393.5)     		tx = 8393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773910522460938 × 215)
    floor (0.773910522460938 × 32768)
    floor (25359.5)     		ty = 25359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8393 / 25359 ti = "15/8393/25359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8393/25359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8393 ÷ 215
    8393 ÷ 32768     		x = 0.256134033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25359 ÷ 215
    25359 ÷ 32768     		y = 0.773895263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.256134033203125 × 2 - 1) × π
    -0.48773193359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.53225506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773895263671875 × 2 - 1) × π
    -0.54779052734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.72093469636002
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.53225506} λ = -1.53225506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72093469636002))-π/2
    2×atan(0.178898853631695)-π/2
    2×0.177026144938107-π/2
    0.354052289876215-1.57079632675     		φ = -1.21674404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.53225506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.791748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21674404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.714298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8393 KachelY 25359 -1.53225506 -1.21674404 -87.791748 -69.714298
    Oben rechts KachelX + 1 8394 KachelY 25359 -1.53206331 -1.21674404 -87.780762 -69.714298
    Unten links KachelX 8393 KachelY + 1 25360 -1.53225506 -1.21681051 -87.791748 -69.718107
    Unten rechts KachelX + 1 8394 KachelY + 1 25360 -1.53206331 -1.21681051 -87.780762 -69.718107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21674404--1.21681051) × R
    6.64699999999296e-05 × 6371000     		dl = 423.480369999552m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21674404--1.21681051) × R
    6.64699999999296e-05 × 6371000     		dr = 423.480369999552m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.53225506--1.53206331) × cos(-1.21674404) × R
    0.000191749999999935 × 0.346701589313707 × 6371000     		do = 423.544269542861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.53225506--1.53206331) × cos(-1.21681051) × R
    0.000191749999999935 × 0.346639241317444 × 6371000     		du = 423.468102783468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21674404)-sin(-1.21681051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346701589313707-0.346639241317444)×R²
    abs(-1.53206331--1.53225506)×6.23479962626461e-05×R²
    0.000191749999999935×6.23479962626461e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.23479962626461e-05×40589641000000     		ar = 179346.556479215m²