Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8392 / 7450
↖ ↑ ↗
← N 79.910930°
W133.901367°		 ← 107 m → N 79.910930°
W133.895874°		 →
↑
107.03 m
↓
↑
107.03 m
↓
N 79.909967°
W133.901367°		 ← 107.01 m →
11 453 m²		 N 79.909967°
W133.895874°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128059387207031 y=0.113685607910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128059387207031 × 216)
    floor (0.128059387207031 × 65536)
    floor (8392.5)     		tx = 8392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113685607910156 × 216)
    floor (0.113685607910156 × 65536)
    floor (7450.5)     		ty = 7450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8392 / 7450 ti = "16/8392/7450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8392/7450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8392 ÷ 216
    8392 ÷ 65536     		x = 0.1280517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7450 ÷ 216
    7450 ÷ 65536     		y = 0.113677978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1280517578125 × 2 - 1) × π
    -0.743896484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.33701973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113677978515625 × 2 - 1) × π
    0.77264404296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.42733284916116
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33701973} λ = -2.33701973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42733284916116))-π/2
    2×atan(11.3286265940416)-π/2
    2×1.48275257720081-π/2
    2.96550515440161-1.57079632675     		φ = 1.39470883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33701973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.901367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39470883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.910930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8392 KachelY 7450 -2.33701973 1.39470883 -133.901367 79.910930
    Oben rechts KachelX + 1 8393 KachelY 7450 -2.33692386 1.39470883 -133.895874 79.910930
    Unten links KachelX 8392 KachelY + 1 7451 -2.33701973 1.39469203 -133.901367 79.909967
    Unten rechts KachelX + 1 8393 KachelY + 1 7451 -2.33692386 1.39469203 -133.895874 79.909967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39470883-1.39469203) × R
    1.6799999999817e-05 × 6371000     		dl = 107.032799998834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39470883-1.39469203) × R
    1.6799999999817e-05 × 6371000     		dr = 107.032799998834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33701973--2.33692386) × cos(1.39470883) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.175178921383003 × 6371000     		do = 106.997142742527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33701973--2.33692386) × cos(1.39469203) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.175195461573406 × 6371000     		du = 107.007245288539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39470883)-sin(1.39469203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175178921383003-0.175195461573406)×R²
    abs(-2.33692386--2.33701973)×1.65401904032025e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.65401904032025e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.65401904032025e-05×40589641000000     		ar = 11452.7444317206m²