Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 8392 / 25353
↖ ↑ ↗
← S 69.691432°
W 87.802735°		 ← 424 m → S 69.691432°
W 87.791748°		 →
↑
423.93 m
↓
↑
423.93 m
↓
S 69.695245°
W 87.802735°		 ← 423.93 m →
179 729 m²		 S 69.695245°
W 87.791748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.256118774414062 y=0.773727416992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.256118774414062 × 215)
    floor (0.256118774414062 × 32768)
    floor (8392.5)     		tx = 8392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773727416992188 × 215)
    floor (0.773727416992188 × 32768)
    floor (25353.5)     		ty = 25353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8392 / 25353 ti = "15/8392/25353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8392/25353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8392 ÷ 215
    8392 ÷ 32768     		x = 0.256103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25353 ÷ 215
    25353 ÷ 32768     		y = 0.773712158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.256103515625 × 2 - 1) × π
    -0.48779296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.53244681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773712158203125 × 2 - 1) × π
    -0.54742431640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.71978421076913
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.53244681} λ = -1.53244681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71978421076913))-π/2
    2×atan(0.179104792627232)-π/2
    2×0.177225690173887-π/2
    0.354451380347773-1.57079632675     		φ = -1.21634495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.53244681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.802735°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21634495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.691432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8392 KachelY 25353 -1.53244681 -1.21634495 -87.802735 -69.691432
    Oben rechts KachelX + 1 8393 KachelY 25353 -1.53225506 -1.21634495 -87.791748 -69.691432
    Unten links KachelX 8392 KachelY + 1 25354 -1.53244681 -1.21641149 -87.802735 -69.695245
    Unten rechts KachelX + 1 8393 KachelY + 1 25354 -1.53225506 -1.21641149 -87.791748 -69.695245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21634495--1.21641149) × R
    6.65399999999483e-05 × 6371000     		dl = 423.926339999671m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21634495--1.21641149) × R
    6.65399999999483e-05 × 6371000     		dr = 423.926339999671m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.53244681--1.53225506) × cos(-1.21634495) × R
    0.000191749999999935 × 0.347075898329477 × 6371000     		do = 424.001540128155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.53244681--1.53225506) × cos(-1.21641149) × R
    0.000191749999999935 × 0.347013493884274 × 6371000     		du = 423.925304408521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21634495)-sin(-1.21641149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347075898329477-0.347013493884274)×R²
    abs(-1.53225506--1.53244681)×6.24044452027239e-05×R²
    0.000191749999999935×6.24044452027239e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.24044452027239e-05×40589641000000     		ar = 179729.261962499m²