Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83914 / 19864
↖ ↑ ↗
← N 77.220501°
E 50.476685°		 ← 67.56 m → N 77.220501°
E 50.479431°		 →
↑
67.53 m
↓
↑
67.53 m
↓
N 77.219894°
E 50.476685°		 ← 67.56 m →
4 563 m²		 N 77.219894°
E 50.479431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640216827392578 y=0.151554107666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640216827392578 × 217)
    floor (0.640216827392578 × 131072)
    floor (83914.5)     		tx = 83914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151554107666016 × 217)
    floor (0.151554107666016 × 131072)
    floor (19864.5)     		ty = 19864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83914 / 19864 ti = "17/83914/19864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83914/19864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83914 ÷ 217
    83914 ÷ 131072     		x = 0.640213012695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19864 ÷ 217
    19864 ÷ 131072     		y = 0.15155029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640213012695312 × 2 - 1) × π
    0.280426025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.88098434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15155029296875 × 2 - 1) × π
    0.6968994140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.1893740794472
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88098434} λ = 0.88098434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1893740794472))-π/2
    2×atan(8.92962213110496)-π/2
    2×1.45927415793911-π/2
    2.91854831587821-1.57079632675     		φ = 1.34775199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88098434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.476685°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34775199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.220501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83914 KachelY 19864 0.88098434 1.34775199 50.476685 77.220501
    Oben rechts KachelX + 1 83915 KachelY 19864 0.88103228 1.34775199 50.479431 77.220501
    Unten links KachelX 83914 KachelY + 1 19865 0.88098434 1.34774139 50.476685 77.219894
    Unten rechts KachelX + 1 83915 KachelY + 1 19865 0.88103228 1.34774139 50.479431 77.219894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34775199-1.34774139) × R
    1.05999999999717e-05 × 6371000     		dl = 67.53259999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34775199-1.34774139) × R
    1.05999999999717e-05 × 6371000     		dr = 67.53259999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88098434-0.88103228) × cos(1.34775199) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.221199567730956 × 6371000     		do = 67.560041661863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88098434-0.88103228) × cos(1.34774139) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.221209905141303 × 6371000     		du = 67.5631989730679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34775199)-sin(1.34774139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221199567730956-0.221209905141303)×R²
    abs(0.88103228-0.88098434)×1.03374103467835e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.03374103467835e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.03374103467835e-05×40589641000000     		ar = 4562.61188024469m²