Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83913 / 19736
↖ ↑ ↗
← N 77.298034°
E 50.473938°		 ← 67.16 m → N 77.298034°
E 50.476685°		 →
↑
67.15 m
↓
↑
67.15 m
↓
N 77.297430°
E 50.473938°		 ← 67.16 m →
4 510 m²		 N 77.297430°
E 50.476685°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640209197998047 y=0.150577545166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640209197998047 × 217)
    floor (0.640209197998047 × 131072)
    floor (83913.5)     		tx = 83913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150577545166016 × 217)
    floor (0.150577545166016 × 131072)
    floor (19736.5)     		ty = 19736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83913 / 19736 ti = "17/83913/19736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83913/19736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83913 ÷ 217
    83913 ÷ 131072     		x = 0.640205383300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19736 ÷ 217
    19736 ÷ 131072     		y = 0.15057373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640205383300781 × 2 - 1) × π
    0.280410766601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.88093640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15057373046875 × 2 - 1) × π
    0.6988525390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.19551000259857
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88093640} λ = 0.88093640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19551000259857))-π/2
    2×atan(8.98458204875313)-π/2
    2×1.45995076311167-π/2
    2.91990152622334-1.57079632675     		φ = 1.34910520
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88093640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.473938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34910520 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.298034°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83913 KachelY 19736 0.88093640 1.34910520 50.473938 77.298034
    Oben rechts KachelX + 1 83914 KachelY 19736 0.88098434 1.34910520 50.476685 77.298034
    Unten links KachelX 83913 KachelY + 1 19737 0.88093640 1.34909466 50.473938 77.297430
    Unten rechts KachelX + 1 83914 KachelY + 1 19737 0.88098434 1.34909466 50.476685 77.297430
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34910520-1.34909466) × R
    1.05399999998923e-05 × 6371000     		dl = 67.1503399993139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34910520-1.34909466) × R
    1.05399999998923e-05 × 6371000     		dr = 67.1503399993139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88093640-0.88098434) × cos(1.34910520) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.219879676561406 × 6371000     		do = 67.1569129248394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88093640-0.88098434) × cos(1.34909466) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.219889958603772 × 6371000     		du = 67.1600533252381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34910520)-sin(1.34909466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219879676561406-0.219889958603772)×R²
    abs(0.88098434-0.88093640)×1.02820423668881e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.02820423668881e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.02820423668881e-05×40589641000000     		ar = 4509.71497557523m²