Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 8391 / 25349
↖ ↑ ↗
← S 69.676174°
W 87.813720°		 ← 424.28 m → S 69.676174°
W 87.802735°		 →
↑
424.24 m
↓
↑
424.24 m
↓
S 69.679990°
W 87.813720°		 ← 424.21 m →
179 984 m²		 S 69.679990°
W 87.802735°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.256088256835938 y=0.773605346679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.256088256835938 × 215)
    floor (0.256088256835938 × 32768)
    floor (8391.5)     		tx = 8391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773605346679688 × 215)
    floor (0.773605346679688 × 32768)
    floor (25349.5)     		ty = 25349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8391 / 25349 ti = "15/8391/25349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8391/25349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8391 ÷ 215
    8391 ÷ 32768     		x = 0.256072998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25349 ÷ 215
    25349 ÷ 32768     		y = 0.773590087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.256072998046875 × 2 - 1) × π
    -0.48785400390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.53263855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773590087890625 × 2 - 1) × π
    -0.54718017578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.71901722037521
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.53263855} λ = -1.53263855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71901722037521))-π/2
    2×atan(0.179242216977523)-π/2
    2×0.177358839995973-π/2
    0.354717679991946-1.57079632675     		φ = -1.21607865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.53263855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.813720°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21607865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.676174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8391 KachelY 25349 -1.53263855 -1.21607865 -87.813720 -69.676174
    Oben rechts KachelX + 1 8392 KachelY 25349 -1.53244681 -1.21607865 -87.802735 -69.676174
    Unten links KachelX 8391 KachelY + 1 25350 -1.53263855 -1.21614524 -87.813720 -69.679990
    Unten rechts KachelX + 1 8392 KachelY + 1 25350 -1.53244681 -1.21614524 -87.802735 -69.679990
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21607865--1.21614524) × R
    6.65899999998665e-05 × 6371000     		dl = 424.244889999149m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21607865--1.21614524) × R
    6.65899999998665e-05 × 6371000     		dr = 424.244889999149m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.53263855--1.53244681) × cos(-1.21607865) × R
    0.000191739999999996 × 0.347325632024737 × 6371000     		do = 424.28449649645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.53263855--1.53244681) × cos(-1.21614524) × R
    0.000191739999999996 × 0.347263186842855 × 6371000     		du = 424.208214989673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21607865)-sin(-1.21614524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347325632024737-0.347263186842855)×R²
    abs(-1.53244681--1.53263855)×6.24451818811989e-05×R²
    0.000191739999999996×6.24451818811989e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.24451818811989e-05×40589641000000     		ar = 179984.348591066m²