Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83908 / 19746
↖ ↑ ↗
← N 77.291993°
E 50.460205°		 ← 67.19 m → N 77.291993°
E 50.462952°		 →
↑
67.15 m
↓
↑
67.15 m
↓
N 77.291389°
E 50.460205°		 ← 67.19 m →
4 512 m²		 N 77.291389°
E 50.462952°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83908 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640171051025391 y=0.150653839111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640171051025391 × 217)
    floor (0.640171051025391 × 131072)
    floor (83908.5)     		tx = 83908
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150653839111328 × 217)
    floor (0.150653839111328 × 131072)
    floor (19746.5)     		ty = 19746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83908 / 19746 ti = "17/83908/19746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83908/19746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83908 ÷ 217
    83908 ÷ 131072     		x = 0.640167236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19746 ÷ 217
    19746 ÷ 131072     		y = 0.150650024414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640167236328125 × 2 - 1) × π
    0.28033447265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.88069672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150650024414062 × 2 - 1) × π
    0.698699951171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19503063360237
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88069672} λ = 0.88069672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19503063360237))-π/2
    2×atan(8.98027615081457)-π/2
    2×1.45989804903714-π/2
    2.91979609807428-1.57079632675     		φ = 1.34899977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88069672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.460205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34899977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.291993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83908 KachelY 19746 0.88069672 1.34899977 50.460205 77.291993
    Oben rechts KachelX + 1 83909 KachelY 19746 0.88074466 1.34899977 50.462952 77.291993
    Unten links KachelX 83908 KachelY + 1 19747 0.88069672 1.34898923 50.460205 77.291389
    Unten rechts KachelX + 1 83909 KachelY + 1 19747 0.88074466 1.34898923 50.462952 77.291389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34899977-1.34898923) × R
    1.05400000001143e-05 × 6371000     		dl = 67.1503400007285m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34899977-1.34898923) × R
    1.05400000001143e-05 × 6371000     		dr = 67.1503400007285m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88069672-0.88074466) × cos(1.34899977) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.219982525150796 × 6371000     		do = 67.1883255312064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88069672-0.88074466) × cos(1.34898923) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.219992806948763 × 6371000     		du = 67.191465856959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34899977)-sin(1.34898923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219982525150796-0.219992806948763)×R²
    abs(0.88074466-0.88069672)×1.02817979668601e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.02817979668601e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.02817979668601e-05×40589641000000     		ar = 4511.82434031988m²