Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83900 / 19820
↖ ↑ ↗
← N 77.247205°
E 50.438232°		 ← 67.42 m → N 77.247205°
E 50.440979°		 →
↑
67.41 m
↓
↑
67.41 m
↓
N 77.246599°
E 50.438232°		 ← 67.42 m →
4 545 m²		 N 77.246599°
E 50.440979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640110015869141 y=0.151218414306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640110015869141 × 217)
    floor (0.640110015869141 × 131072)
    floor (83900.5)     		tx = 83900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151218414306641 × 217)
    floor (0.151218414306641 × 131072)
    floor (19820.5)     		ty = 19820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83900 / 19820 ti = "17/83900/19820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83900/19820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83900 ÷ 217
    83900 ÷ 131072     		x = 0.640106201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19820 ÷ 217
    19820 ÷ 131072     		y = 0.151214599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640106201171875 × 2 - 1) × π
    0.28021240234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.88031322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151214599609375 × 2 - 1) × π
    0.69757080078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.19148330303049
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88031322} λ = 0.88031322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19148330303049))-π/2
    2×atan(8.94847657782551)-π/2
    2×1.45950719784323-π/2
    2.91901439568645-1.57079632675     		φ = 1.34821807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88031322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.438232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34821807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.247205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83900 KachelY 19820 0.88031322 1.34821807 50.438232 77.247205
    Oben rechts KachelX + 1 83901 KachelY 19820 0.88036116 1.34821807 50.440979 77.247205
    Unten links KachelX 83900 KachelY + 1 19821 0.88031322 1.34820749 50.438232 77.246599
    Unten rechts KachelX + 1 83901 KachelY + 1 19821 0.88036116 1.34820749 50.440979 77.246599
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34821807-1.34820749) × R
    1.05799999998712e-05 × 6371000     		dl = 67.4051799991797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34821807-1.34820749) × R
    1.05799999998712e-05 × 6371000     		dr = 67.4051799991797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88031322-0.88036116) × cos(1.34821807) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.220745009192843 × 6371000     		do = 67.4212077839865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88031322-0.88036116) × cos(1.34820749) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.220755328188333 × 6371000     		du = 67.4243594708201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34821807)-sin(1.34820749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220745009192843-0.220755328188333)×R²
    abs(0.88036116-0.88031322)×1.03189954900329e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.03189954900329e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.03189954900329e-05×40589641000000     		ar = 4544.64486650875m²