Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8390 / 25363
↖ ↑ ↗
← S 69.729529°
W 87.824707°		 ← 423.24 m → S 69.729529°
W 87.813720°		 →
↑
423.16 m
↓
↑
423.16 m
↓
S 69.733334°
W 87.824707°		 ← 423.16 m →
179 083 m²		 S 69.733334°
W 87.813720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.256057739257812 y=0.774032592773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.256057739257812 × 215)
    floor (0.256057739257812 × 32768)
    floor (8390.5)     		tx = 8390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774032592773438 × 215)
    floor (0.774032592773438 × 32768)
    floor (25363.5)     		ty = 25363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8390 / 25363 ti = "15/8390/25363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8390/25363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8390 ÷ 215
    8390 ÷ 32768     		x = 0.25604248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25363 ÷ 215
    25363 ÷ 32768     		y = 0.774017333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.25604248046875 × 2 - 1) × π
    -0.4879150390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.53283030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774017333984375 × 2 - 1) × π
    -0.54803466796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72170168675394
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.53283030} λ = -1.53283030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72170168675394))-π/2
    2×atan(0.178761692536821)-π/2
    2×0.176893234359161-π/2
    0.353786468718322-1.57079632675     		φ = -1.21700986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.53283030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.824707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21700986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.729529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8390 KachelY 25363 -1.53283030 -1.21700986 -87.824707 -69.729529
    Oben rechts KachelX + 1 8391 KachelY 25363 -1.53263855 -1.21700986 -87.813720 -69.729529
    Unten links KachelX 8390 KachelY + 1 25364 -1.53283030 -1.21707628 -87.824707 -69.733334
    Unten rechts KachelX + 1 8391 KachelY + 1 25364 -1.53263855 -1.21707628 -87.813720 -69.733334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21700986--1.21707628) × R
    6.64199999997894e-05 × 6371000     		dl = 423.161819998658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21700986--1.21707628) × R
    6.64199999997894e-05 × 6371000     		dr = 423.161819998658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.53283030--1.53263855) × cos(-1.21700986) × R
    0.000191750000000157 × 0.346452244424559 × 6371000     		do = 423.239660039982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.53283030--1.53263855) × cos(-1.21707628) × R
    0.000191750000000157 × 0.346389937209692 × 6371000     		du = 423.163543100742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21700986)-sin(-1.21707628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346452244424559-0.346389937209692)×R²
    abs(-1.53263855--1.53283030)×6.23072148670523e-05×R²
    0.000191750000000157×6.23072148670523e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.23072148670523e-05×40589641000000     		ar = 179082.760012654m²