Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8390 / 25360
↖ ↑ ↗
← S 69.718107°
W 87.824707°		 ← 423.47 m → S 69.718107°
W 87.813720°		 →
↑
423.42 m
↓
↑
423.42 m
↓
S 69.721915°
W 87.824707°		 ← 423.39 m →
179 287 m²		 S 69.721915°
W 87.813720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.256057739257812 y=0.773941040039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.256057739257812 × 215)
    floor (0.256057739257812 × 32768)
    floor (8390.5)     		tx = 8390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773941040039062 × 215)
    floor (0.773941040039062 × 32768)
    floor (25360.5)     		ty = 25360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8390 / 25360 ti = "15/8390/25360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8390/25360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8390 ÷ 215
    8390 ÷ 32768     		x = 0.25604248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25360 ÷ 215
    25360 ÷ 32768     		y = 0.77392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.25604248046875 × 2 - 1) × π
    -0.4879150390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.53283030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77392578125 × 2 - 1) × π
    -0.5478515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7211264439585
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.53283030} λ = -1.53283030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7211264439585))-π/2
    2×atan(0.17886455349473)-π/2
    2×0.176992908328252-π/2
    0.353985816656504-1.57079632675     		φ = -1.21681051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.53283030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.824707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21681051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.718107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8390 KachelY 25360 -1.53283030 -1.21681051 -87.824707 -69.718107
    Oben rechts KachelX + 1 8391 KachelY 25360 -1.53263855 -1.21681051 -87.813720 -69.718107
    Unten links KachelX 8390 KachelY + 1 25361 -1.53283030 -1.21687697 -87.824707 -69.721915
    Unten rechts KachelX + 1 8391 KachelY + 1 25361 -1.53263855 -1.21687697 -87.813720 -69.721915
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21681051--1.21687697) × R
    6.64599999999904e-05 × 6371000     		dl = 423.416659999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21681051--1.21687697) × R
    6.64599999999904e-05 × 6371000     		dr = 423.416659999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.53283030--1.53263855) × cos(-1.21681051) × R
    0.000191750000000157 × 0.346639241317444 × 6371000     		do = 423.468102783958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.53283030--1.53263855) × cos(-1.21687697) × R
    0.000191750000000157 × 0.346576901169855 × 6371000     		du = 423.391945612812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21681051)-sin(-1.21687697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346639241317444-0.346576901169855)×R²
    abs(-1.53263855--1.53283030)×6.23401475897123e-05×R²
    0.000191750000000157×6.23401475897123e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.23401475897123e-05×40589641000000     		ar = 179287.32665582m²