Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 839 / 170
↖ ↑ ↗
← N 81.672424°
W 32.519531°		 ← 2 830.89 m → N 81.672424°
W 32.343750°		 →
↑
2 835.16 m
↓
↑
2 835.16 m
↓
N 81.646927°
W 32.519531°		 ← 2 839.50 m →
8 038 225 m²		 N 81.646927°
W 32.343750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 839 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.409912109375 y=0.083251953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.409912109375 × 211)
    floor (0.409912109375 × 2048)
    floor (839.5)     		tx = 839
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.083251953125 × 211)
    floor (0.083251953125 × 2048)
    floor (170.5)     		ty = 170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 839 / 170 ti = "11/839/170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/839/170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 839 ÷ 211
    839 ÷ 2048     		x = 0.40966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 170 ÷ 211
    170 ÷ 2048     		y = 0.0830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40966796875 × 2 - 1) × π
    -0.1806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.56757289
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0830078125 × 2 - 1) × π
    0.833984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.62003918563379
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56757289} λ = -0.56757289}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62003918563379))-π/2
    2×atan(13.736261838658)-π/2
    2×1.49812451881769-π/2
    2.99624903763539-1.57079632675     		φ = 1.42545271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56757289} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.519531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42545271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.672424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 839 KachelY 170 -0.56757289 1.42545271 -32.519531 81.672424
    Oben rechts KachelX + 1 840 KachelY 170 -0.56450493 1.42545271 -32.343750 81.672424
    Unten links KachelX 839 KachelY + 1 171 -0.56757289 1.42500770 -32.519531 81.646927
    Unten rechts KachelX + 1 840 KachelY + 1 171 -0.56450493 1.42500770 -32.343750 81.646927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42545271-1.42500770) × R
    0.000445009999999968 × 6371000     		dl = 2835.1587099998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42545271-1.42500770) × R
    0.000445009999999968 × 6371000     		dr = 2835.1587099998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56757289--0.56450493) × cos(1.42545271) × R
    0.00306795999999998 × 0.144832432021451 × 6371000     		do = 2830.89082898879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56757289--0.56450493) × cos(1.42500770) × R
    0.00306795999999998 × 0.145272735568472 × 6371000     		du = 2839.49699030111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42545271)-sin(1.42500770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144832432021451-0.145272735568472)×R²
    abs(-0.56450493--0.56757289)×0.000440303547020321×R²
    0.00306795999999998×0.000440303547020321×6371000²
    0.00306795999999998×0.000440303547020321×40589641000000     		ar = 8038224.84013285m²