Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83898 / 19838
↖ ↑ ↗
← N 77.236288°
E 50.432739°		 ← 67.48 m → N 77.236288°
E 50.435486°		 →
↑
67.53 m
↓
↑
67.53 m
↓
N 77.235680°
E 50.432739°		 ← 67.48 m →
4 557 m²		 N 77.235680°
E 50.435486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19838 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640094757080078 y=0.151355743408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640094757080078 × 217)
    floor (0.640094757080078 × 131072)
    floor (83898.5)     		tx = 83898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151355743408203 × 217)
    floor (0.151355743408203 × 131072)
    floor (19838.5)     		ty = 19838
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83898 / 19838 ti = "17/83898/19838"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83898/19838.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83898 ÷ 217
    83898 ÷ 131072     		x = 0.640090942382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19838 ÷ 217
    19838 ÷ 131072     		y = 0.151351928710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.640090942382812 × 2 - 1) × π
    0.280181884765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.88021735
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151351928710938 × 2 - 1) × π
    0.697296142578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.19062043883733
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88021735} λ = 0.88021735}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19062043883733))-π/2
    2×atan(8.94075858807053)-π/2
    2×1.45941192127547-π/2
    2.91882384255094-1.57079632675     		φ = 1.34802752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88021735} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.432739°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34802752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.236288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83898 KachelY 19838 0.88021735 1.34802752 50.432739 77.236288
    Oben rechts KachelX + 1 83899 KachelY 19838 0.88026529 1.34802752 50.435486 77.236288
    Unten links KachelX 83898 KachelY + 1 19839 0.88021735 1.34801692 50.432739 77.235680
    Unten rechts KachelX + 1 83899 KachelY + 1 19839 0.88026529 1.34801692 50.435486 77.235680
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34802752-1.34801692) × R
    1.05999999999717e-05 × 6371000     		dl = 67.53259999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34802752-1.34801692) × R
    1.05999999999717e-05 × 6371000     		dr = 67.53259999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88021735-0.88026529) × cos(1.34802752) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.220930854611851 × 6371000     		do = 67.4779697586128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88021735-0.88026529) × cos(1.34801692) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.22094119266786 × 6371000     		du = 67.4811272670195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34802752)-sin(1.34801692))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220930854611851-0.22094119266786)×R²
    abs(0.88026529-0.88021735)×1.03380560089461e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.03380560089461e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.03380560089461e-05×40589641000000     		ar = 4557.06935784734m²